《数学之美》拾遗——潜在语义索引(LSI)
一、潜在语义索引的提出 潜在语义索引(LSI)，又称为潜在语义分析(LSA)，是在信息检索领域提出来的一个概念。主要是在解决两类问题，一类是一词多义，如“bank”一词，可以指银行，也可以指河岸；另一类是一义多词，即同义词问题，如“car”和“automobile”具有相同的含义，如果在检索的过程中，在计算这两类问题的相似性时，依靠余弦相似性的方法将不能很好的处理这样的问题。所以提出了潜在语义索引的方法，利用SVD降维的方法将词项和文本映射到一个新的空间。
二、潜在语义索引的含义 潜在语义索引依靠SVD，具体SVD的操作过程可以参见《》。 SVD的操作过程是将词项-文本矩阵
进行分解，分解为：
其中，
为左奇异矩阵，
是对角矩阵，对角线上是奇异值，
称为右奇异矩阵。 我们取前
个奇异值，构成新的矩阵，这样就可以重构矩阵
：
这样，我们便将原来的空间映射到了新的
维空间。 我们对一个具体的问题进行处理：
横坐标表示词“ship”，“boat”，“ocean”，“wood”和“tree”，纵坐标为文章“d1”，“d2”，“d3”，“d4”，“d5”和“d6”。我们对其进行奇异值分解，得到的
矩阵为：
我们取
的值为2，
的值即为我们要隐射的空间，此时左奇异向量
为：
这表第一个词与第一维空间更接近，依次类推，同样，我们可以得到右奇异矩阵
：
这表第一列表示文章“d1”与第一位空间更接近。 中间矩阵
表示的是词和文章的相关关系。
三、实验的仿真 对于“”中的数据：
进行奇异值分解，分解完的三个矩阵分别为：
这里可以看到9个奇异值的条状图：
我们可以看到不同奇异值的重要性程度，选取前3个奇异值。 此时得到三个修改后的矩阵：
依据不同的值，我们便可以将词和文章分到不同的维中。
