背包类动态规划详解：0-1、完全及二维费用

一、0-1 背包

题目解析

有一个背包，最多能容纳的体积是 V，有 n 个物品，体积为 v[i]，价值 w[i]。

• 问 1：最多能装的最大价值的物品？（背包不必装满）
• 问 2：背包恰好装满，最多能装多大价值的物品

算法原理

第一问

1. 状态表示

   • dp[i][j]：从前 i 个物品中挑选，总体积不超过 j，所有选法中能挑选出来的最大价值。

2. 状态转移方程

   • 不选 i 物品：dp[i-1][j]
   • 选 i 物品：w[i] + dp[i-1][j-v[i]] (需满足 j >= v[i])
   • 综合：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], w[i] + dp[i-1][j-v[i]])

3. 初始化

   • 容量不超过 0 或物品为 0 时，价值为 0。

4. 填表顺序

   • 从上往下，从左往右。

5. 返回值

   • dp[n][v]

第二问（恰好装满）

1. 状态表示
   • dp[i][j]：从前 i 个物品中挑选，总体积等于 j，所有选法中能挑选出来的最大价值。
2. 状态转移方程
   • 需判断 dp[i-1][j-v[i]] != -1。
3. 初始化
   • dp[0][0] = 0，其余 dp[0][j] = -1。

代码编写

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n, v;
    cin >> n >> v;
    vector<int> vl(n + 1), wl(n + 1);
    vector<vector<int>> (n + , <>(v + ));
    vector<vector<>> (n + , <>(v + ));

     ( i = ; i <= n; i++) {
         tv, tw;
        cin >> tv >> tw;
        vl[i] = tv;
        wl[i] = tw;
    }

    
     ( i = ; i <= v; i++) dp2[][i] = ;

    
     ( i = ; i <= n; i++) {
         ( j = ; j <= v; j++) {
            
             (j - vl[i] >= )
                dp1[i][j] = (dp1[i - ][j], wl[i] + dp1[i - ][j - vl[i]]);
            
                dp1[i][j] = dp1[i - ][j];

            
             (j - vl[i] >=  && dp2[i - ][j - vl[i]] != )
                dp2[i][j] = (dp2[i - ][j], wl[i] + dp2[i - ][j - vl[i]]);
            
                dp2[i][j] = dp2[i - ][j];
        }
    }

    cout << dp1[n][v] << endl;
     (dp2[n][v] == ) cout << ;
     cout << dp2[n][v];
     ;
}