C++ 红黑树实现详解：规则、效率与核心操作

2.2 红黑树的插入

【红黑树树插入一个值的大概过程】

1. 插入一个值按二叉搜索树规则进行插入，插入后我们只需要观察是否符合红黑树的 4 条规则。
2. 如果是空树插入，新增结点是黑色结点。如果是非空树插入，新增结点必须红色结点，因为非空树插入，新增黑色结点就破坏了规则 4，规则 4 是很难维护的。
3. 非空树插入后，新增结点必须红色结点，如果父亲结点是黑色的，则没有违反任何规则，插入结束
4. 非空树插入后，新增结点必须红色结点，如果父亲结点是红色的，则违反规则 3。进一步分析，c 是红色，p 为红，g 必为黑（插入之前保证这棵树是一棵平衡的红黑树），这三个颜色都固定了，关键的变化看 u 的情况，需要根据 u 分为以下几种情况分别处理。

说明：下图中假设我们把新增结点标识为 c (cur)，c 的父亲标识为 p(parent)，p 的父亲标识为 g(grandfather)，p 的兄弟标识为 u（uncle）。

【情况 1：变色】

c 为红，p 为红，g 为黑，u 存在且为红，则将 p 和 u 变黑，g 变红。在把 g 当做新的 c，继续往上更新。

分析：因为 p 和 u 都是红色，g 是黑色，把 p 和 u 变黑，左边子树路径各增加一个黑色结点，g 再变红，相当于保持 g 所在子树的黑色结点的数量不变，同时解决了 c 和 p 连续红色结点的问题，需要继续往上更新是因为，g 是红色，<1>如果 g 的父亲还是红色，那么就还需要继续处理；<2>如果 g 的父亲是黑色，则处理结束了；<3>如果 g 就是整棵树的根，再把 g 变回黑色。

情况 1 只变色，不旋转。所以无论 c 是 p 的左还是右，p 是 g 的左还是右，都是上面的变色处理方式。

• 跟 AVL 树类似，图 0 我们展示了一种具体情况，但是实际中需要这样处理的有很多种情况。
• 图 1 将以上类似的处理进行了抽象表达，d/e/f 代表每条路径拥有 hb 个黑色结点的子树，a/b 代表每条路径拥有 hb-1 个黑色结点的根为红的子树，hb>=0。
• 图 2/图 3/图 4，分别展示了 hb == 0/hb == 1/hb == 2 的具体情况组合分析，当 hb 等于 2 时，这里组合情况上百亿种，这些样例是帮助我们理解，不论情况多少种，多么复杂，处理方式一样的，变色再继续往上处理即可，所以我们只需要看抽象图即可。

【情况 2：单旋 + 变色】

c 为红，p 为红，g 为黑，u 不存在或者 u 存在且为黑，u 不存在，则 c 一定是新增结点，u 存在且为黑，则 c 一定不是新增，c 之前是黑色的，是在 c 的子树中插入，符合情况 1，变色将 c 从黑色变成红色，更新上来的。

分析：p 必须变黑，才能解决，连续红色结点的问题，u 不存在或者是黑色的，这里单纯的变色无法解决问题，需要旋转 + 变色。

如果 p 是 g 的左，c 是 p 的左，那么以 g 为旋转点进行右单旋，再把 p 变黑，g 变红即可。p 变成这颗树的根，这样子树黑色结点的数量不变，没有连续的红色结点了，且不需要往上更新，因为 p 的父亲是黑色还是红色或者空都不违反规则。

如果 p 是 g 的右，c 是 p 的右，那么以 g 为旋转点进行左单旋，再把 p 变黑，g 变红即可。p 变成这颗树新的根，这样子树黑色结点的数量不变，没有连续的红色结点了，且不需要往上更新，因为 p 的父亲是黑色还是红色或者空都不违反规则。

【情况 2：双旋 + 变色】

c 为红，p 为红，g 为黑，u 不存在或者 u 存在且为黑，u 不存在，则 c 一定是新增结点，u 存在且为黑，则 c 一定不是新增，c 之前是黑色的，是在 c 的子树中插入，符合情况 1，变色将 c 从黑色变成红色，更新上来的。

分析：p 必须变黑，才能解决，连续红色结点的问题，u 不存在或者是黑色的，这里单纯的变色无法解决问题，需要旋转 + 变色。

如果 p 是 g 的左，c 是 p 的右，那么先以 p 为旋转点进行左单旋，再以 g 为旋转点进行右单旋，再把 c 变黑，g 变红即可。c 变成这棵树新的根，这样子树黑色结点的数量不变，没有连续的红色结点了，且 不需要往上更新，因为 c 的父亲是黑色还是红色或者空都不违反规则。

如果 p 是 g 的右，c 是 p 的左，那么先以 p 为旋转点进行右单旋，再以 g 为旋转点进行左单旋，再把 c 变黑，g 变红即可。c 变成这颗树新的根，这样子树黑色结点的数量不变，没有连续的红色结点了，且 不需要往上更新，因为 c 的父亲是黑色还是红色或者空都不违反规则。

2.3 红黑树的插入代码实现

bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
    if (_root == nullptr) {
        _root = new Node(kv);
        _root->_col = BLACK;
        return true;
    }
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur) {
        if (cur->_kv.first < kv.first) {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        } else if (cur->_kv.first > kv.first) {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        } else {
            return false;
        }
    }
    cur = new Node(kv);
    cur->_col = RED;
    if (parent->_kv.first < kv.first) {
        parent->_right = cur;
    } else {
        parent->_left = cur;
    }
    cur->_parent = parent;
    while (parent && parent->_col == RED) {
        Node* grandfather = parent->_parent;
        if (grandfather->_left == parent) {
            // g
            // p u
            Node* uncle = grandfather->_right;
            // 情况一：uncle 存在且为红
            if (uncle && uncle->_col == RED) {
                // 变色
                parent->_col = uncle->_col = BLACK;
                grandfather->_col = RED;
                // 继续往上处理
                cur = grandfather;
                parent = cur->_parent;
            } else // 情况二：uncle 不存在，或者存在且为黑
            {
                if (cur == parent->_left) {
                    // 单旋 + 变色
                    // g
                    // p u
                    //c
                    RotateR(grandfather);
                    parent->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                } else {
                    // 双旋 + 变色
                    // g
                    // p u
                    // c
                    RotateL(parent);
                    RotateR(grandfather);
                    cur->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                }
                break;
            }
        } else {
            // g
            // u p
            Node* uncle = grandfather->_left;
            // 情况一：叔叔存在且为红，变色即可
            if (uncle && uncle->_col == RED) {
                parent->_col = uncle->_col = BLACK;
                grandfather->_col = RED;
                // 继续往上处理
                cur = grandfather;
                parent = cur->_parent;
            } else // 叔叔不存在，或者存在且为黑
            {
                // 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑
                // 单旋 + 变色
                // g
                // u p
                // c
                if (cur == parent->_right) {
                    RotateL(grandfather);
                    parent->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                } else {
                    //双旋 + 变色
                    // g
                    // u p
                    // c
                    RotateR(parent);
                    RotateL(grandfather);
                    cur->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                }
                break;
            }
        }
    }
    _root->_col = BLACK;
    return true;
}

2.4 红黑树的查找

按二叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)

Node* Find(const K& key) {
    Node* cur = _root;
    while (cur) {
        if (cur->_kv.first < key) {
            cur = cur->_right;
        } else if(cur->_kv.first > key) {
            cur = cur->_left;
        } else {
            return cur;
        }
    }
    return nullptr;
}

2.5 红黑树的验证

这里获取最长路径和最短路径，检查最长路径不超过最短路径的 2 倍是不可行的，因为就算满足这个条件，红黑树也可能颜色不满足规则，当前暂时没出问题，后续继续插入还是会出问题的。所以我们还是去检查 4 点规则，满足这 4 点规则，一定能保证最长路径不超过最短路径的 2 倍。

1. 规则 1 枚举颜色类型，天然实现保证了颜色不是黑色就是红色。
2. 规则 2 直接检查根即可
3. 规则 3 前序遍历检查，遇到红色结点查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲的颜色就方便多了。
4. 规则 4 前序遍历，遍历过程中用形参记录跟到当前结点的 blackNum(黑色结点数量)，前序遍历遇到黑色结点就++blackNum，走到空就计算出了一条路径的黑色结点数量。再任意一条路径黑色结点数量作为参考值，依次比较即可。

// blackNum 根到当前结点的黑色结点的数量
bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum) {
    if (root == nullptr) {
        // 前序遍历走到空时，意味着一条路径走完了
        //cout << blackNum << endl;
        if (refNum != blackNum) {
            cout << "存在黑色结点的数量不相等的路径" << endl;
            return false;
        }
        return true;
    }
    // 检查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲就方便多了
    if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED) {
        cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;
        return false;
    }
    if (root->_col == BLACK) {
        blackNum++;
    }
    return Check(root->_left, blackNum, refNum) && Check(root->_right, blackNum, refNum);
}

bool IsBalance() {
    if (_root == nullptr) return true;
    if (_root->_col == RED) return false;
    // 参考值
    int refNum = 0;
    Node* cur = _root;
    while (cur) {
        if (cur->_col == BLACK) {
            ++refNum;
        }
        cur = cur->_left;
    }
    return Check(_root, 0, refNum);
}

2.6 红黑树的删除

红黑树的删除本章节不做讲解，有兴趣的同学可参考：《算法导论》或者《STL 源码剖析》中讲解。

三、完整代码

可以进行红黑树和 AVL 树的一些性能测试

RBTree.h

#pragma once
#include <iostream>
#include <utility>
using namespace std;

enum Colour { RED, BLACK };

// 这里我们默认按 key/value 结构实现
template<class K, class V>
struct RBTreeNode {
    // 这里更新控制平衡也要加入 parent 指针
    pair<K, V> _kv;
    RBTreeNode<K, V>* _left;
    RBTreeNode<K, V>* _right;
    RBTreeNode<K, V>* _parent;
    Colour _col;

    RBTreeNode(const pair<K, V>& kv) :_kv(kv)
        , _left(nullptr)
        , _right(nullptr)
        , _parent(nullptr)
    { }
};

template<class K,class V>
class RBTree {
    typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
    bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
        if (_root == nullptr) {
            _root = new Node(kv);
            _root->_col = BLACK;
            return true;
        }
        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        while (cur) {
            if (cur->_kv.first < kv.first) {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            } else if (cur->_kv.first > kv.first) {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            } else {
                return false;
            }
        }
        cur = new Node(kv);
        cur->_col = RED;
        if (parent->_kv.first < kv.first) {
            parent->_right = cur;
        } else {
            parent->_left = cur;
        }
        cur->_parent = parent;
        while (parent && parent->_col == RED) {
            Node* grandfather = parent->_parent;
            if (grandfather->_left == parent) {
                // g
                // p u
                Node* uncle = grandfather->_right;
                // 情况一：uncle 存在且为红
                if (uncle && uncle->_col == RED) {
                    // 变色
                    parent->_col = uncle->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                    // 继续往上处理
                    cur = grandfather;
                    parent = cur->_parent;
                } else // 情况二：uncle 不存在，或者存在且为黑
                {
                    if (cur == parent->_left) {
                        // 旋转 + 变色
                        // g
                        // p u
                        //c
                        RotateR(grandfather);
                        parent->_col = BLACK;
                        grandfather->_col = RED;
                    } else {
                        // 旋转 + 变色
                        // g
                        // p u
                        // c
                        RotateL(parent);
                        RotateR(grandfather);
                        cur->_col = BLACK;
                        grandfather->_col = RED;
                    }
                    break;
                }
            } else {
                // g
                // u p
                Node* uncle = grandfather->_left;
                // 情况一：叔叔存在且为红，变色即可
                if (uncle && uncle->_col == RED) {
                    parent->_col = uncle->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                    // 继续往上处理
                    cur = grandfather;
                    parent = cur->_parent;
                } else // 叔叔不存在，或者存在且为黑
                {
                    // 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑
                    // 单旋 + 变色
                    // g
                    // u p
                    // c
                    if (cur == parent->_right) {
                        RotateL(grandfather);
                        parent->_col = BLACK;
                        grandfather->_col = RED;
                    } else {
                        //双旋 + 变色
                        // g
                        // u p
                        // c
                        RotateR(parent);
                        RotateL(grandfather);
                        cur->_col = BLACK;
                        grandfather->_col = RED;
                    }
                    break;
                }
            }
        }
        _root->_col = BLACK;
        return true;
    }

    void InOrder() {
        _InOrder(_root);
        cout << endl;
    }

    // blackNum 根到当前结点的黑色结点的数量
    bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum) {
        if (root == nullptr) {
            // 前序遍历走到空时，意味着一条路径走完了
            //cout << blackNum << endl;
            if (refNum != blackNum) {
                cout << "存在黑色结点的数量不相等的路径" << endl;
                return false;
            }
            return true;
        }
        // 检查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲就方便多了
        if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED) {
            cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;
            return false;
        }
        if (root->_col == BLACK) {
            blackNum++;
        }
        return Check(root->_left, blackNum, refNum) && Check(root->_right, blackNum, refNum);
    }

    bool IsBalance() {
        if (_root == nullptr) return true;
        if (_root->_col == RED) return false;
        // 参考值
        int refNum = 0;
        Node* cur = _root;
        while (cur) {
            if (cur->_col == BLACK) {
                ++refNum;
            }
            cur = cur->_left;
        }
        return Check(_root, 0, refNum);
    }

    int Height() {
        return _Height(_root);
    }

    int Size() {
        return _Size(_root);
    }

    Node* Find(const K& key) {
        Node* cur = _root;
        while (cur) {
            if (cur->_kv.first < key) {
                cur = cur->_right;
            } else if (cur->_kv.first > key) {
                cur = cur->_left;
            } else {
                return cur;
            }
        }
        return nullptr;
    }

protected:
    int _Size(Node* root) {
        if (root == nullptr) return 0;
        return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
    }

    int _Height(Node* root) {
        if (root == nullptr) return 0;
        int leftHeight = _Height(root->_left);
        int rightHeight = _Height(root->_right);
        return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
    }

    void RotateR(Node* parent) {
        Node* subL = parent->_left;
        Node* subLR = subL->_right;
        parent->_left = subLR;
        if (subLR) subLR->_parent = parent;
        Node* ppNode = parent->_parent;
        subL->_right = parent;
        parent->_parent = subL;
        //if (ppNode == nullptr)
        if (parent == _root) {
            _root = subL;
            subL->_parent = nullptr;
        } else {
            if (ppNode->_left == parent) {
                ppNode->_left = subL;
            } else {
                ppNode->_right = subL;
            }
            subL->_parent = ppNode;
        }
    }

    void RotateL(Node* parent) {
        Node* subR = parent->_right;
        Node* subRL = subR->_left;
        parent->_right = subRL;
        if (subRL) subRL->_parent = parent;
        Node* parentParent = parent->_parent;
        subR->_left = parent;
        parent->_parent = subR;
        if (parentParent == nullptr) {
            _root = subR;
            subR->_parent = nullptr;
        } else {
            if (parent == parentParent->_left) {
                parentParent->_left = subR;
            } else {
                parentParent->_right = subR;
            }
            subR->_parent = parentParent;
        }
    }

    void _InOrder(Node* root) {
        if (root == nullptr) {
            return;
        }
        _InOrder(root->_left);
        cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
        _InOrder(root->_right);
    }

private:
    Node* _root = nullptr;
};

test.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<iostream>
#include<vector>
#include<assert.h>
#include"RBTree.h"
using namespace std;

// 测试代码
void TestRBTree1() {
    RBTree<int, int> t;
    // 常规的测试用例
    int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
    // 特殊的带有双旋场景的测试用例
    //int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
    for (auto e : a) {
        /*if (e == 14) { int x = 0; }*/
        t.Insert({ e, e });
        cout << "Insert:" << e << "->";
        cout << t.IsBalance() << endl;
    }
    t.InOrder();
    cout << t.IsBalance() << endl;
}

// 插入一堆随机值，测试平衡，顺便测试一下高度和性能等
void TestRBTree2() {
    const int N = 10000000;
    vector<int> v;
    v.reserve(N);
    srand(time(0));
    for (size_t i = 0; i < N; i++) {
        v.push_back(rand() + i);
    }
    size_t begin2 = clock();
    RBTree<int, int> t;
    for (auto e : v) {
        t.Insert(make_pair(e, e));
    }
    size_t end2 = clock();
    cout << t.IsBalance() << endl;
    cout << "RBTree Insert:" << end2 - begin2 << endl;
    cout << "RBTree Height:" << t.Height() << endl;
    cout << "RBTree Size:" << t.Size() << endl;
    size_t begin1 = clock();
    // 确定在的值
    /*for (auto e : v) { t.Find(e); }*/
    // 随机值
    for (size_t i = 0; i < N; i++) {
        t.Find((rand() + i));
    }
    size_t end1 = clock();
    cout << "RBTree Find:" << end1 - begin1 << endl << endl;
}

int main() {
    TestRBTree2();
    return 0;
}