C++ 递归入门：汉诺塔问题的思路与实现

C++ 递归、搜索与回溯

1. 汉诺塔问题

题目来源：

LeetCode 面试题 08.06. 汉诺塔问题

题目描述： 有三根柱子 A、B、C，初始时 A 柱上有 n 个大小不同的盘子，按从大到小的顺序叠放。要求将所有盘子移动到 C 柱上，移动过程中需遵守以下规则：

• 每次只能移动一个盘子；
• 大盘子不能放在小盘子上面。

算法原理（递归）：

思路

汉诺塔是递归教学的经典案例。理解它的关键在于化繁为简，从最基础的情况入手。

• 当 n=1 时：只有一个盘子，直接将其从 A 移到 C 即可。
• 当 n=2 时：需要借助辅助柱 B。先将 1 号盘子移到 B，再将 2 号盘子移到 C，最后将 1 号盘子从 B 移到 C。共需 3 步。
• 当 n>2 时：策略保持一致。我们可以将 A 柱上的 n 个盘子视为两部分：最底下的最大盘子和上面的 n-1 个盘子。
  1. 将 A 柱上的上面 n-1 个盘子移动到 B 柱（借助 C 作为中转）；
  2. 将 A 柱上最大的盘子直接移动到 C 柱；
  3. 将 B 柱上的 n-1 个盘子移动到 C 柱（借助 A 作为中转）。

这样，规模为 n 的问题就被拆解成了两个规模为 n-1 的子问题和一个单步操作。只要解决了 n-1 的情况，n 的情况也就迎刃而解了。

算法流程

设计递归函数 dfs(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C, int n)，其中 A 为源柱，C 为目标柱，B 为辅助柱。

1. 终止条件：如果当前盘子数 n=1，直接将 A 栈顶元素弹出并压入 C 栈，返回。
2. 递归步骤：
   • 调用 dfs(A, C, B, n-1)：将 A 上的 n-1 个盘子移至 B。
   • 执行移动：将 A 栈顶元素弹出并压入 C。
   • 调用 dfs(B, A, C, n-1)：将 B 上的 n-1 个盘子移至 C。

解法代码（C++）

class Solution {
public:
    // 递归辅助函数：将 n 个盘子从 A 移动到 C，B 作为辅助
    void dfs(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C, int n) {
        if (n == 1) {
            // 基础情况：只剩一个盘子，直接移动
            C.push_back(A.back());
            A.pop_back();
            return;
        }
        
        
        (A, C, B, n - );
        
        
        C.(A.());
        A.();
        
        
        (B, A, C, n - );
    }

    
    {
         n = A.();
        (A, B, C, n);
    }
};