C++ 递归经典：汉诺塔问题详解

C++ 递归经典：汉诺塔问题详解

问题描述

汉诺塔（Tower of Hanoi）是递归算法中最经典的入门案例之一。题目通常描述为：有三根柱子 A、B、C，A 柱上有 n 个大小不同的圆盘，从小到大叠放。要求将 A 柱上的所有盘子移动到 C 柱上，移动过程中需遵守以下规则：

1. 每次只能移动一个盘子；
2. 大盘子不能放在小盘子上面。

核心思路

面对这个问题，直接思考如何一次性移动 n 个盘子会非常复杂。作为工程师，我们习惯化繁为简，从最简单的情况入手找规律。

• 当 n = 1 时：只有一个盘子，直接从 A 移到 C 即可。
• 当 n = 2 时：需要借助 B 柱。先把上面的小盘移到 B，再把大盘移到 C，最后把小盘从 B 移到 C。
• 当 n > 2 时：我们可以利用 n=2 时的策略。假设我们要把 A 上的 n 个盘子移到 C，可以拆解为三步：
  1. 将 A 上方的 n-1 个盘子借助 C 移到 B（此时最大的盘子在 A 底部不动）；
  2. 将 A 中剩下的最大盘子直接移到 C；
  3. 将 B 上的 n-1 个盘子借助 A 移到 C。

这里的关键在于理解递归的'黑盒'特性：当我们调用函数去处理 n-1 个盘子时，不需要关心它内部具体怎么移，只需要知道它能完成'把一堆盘子从起点移到终点'这个任务即可。同时要注意，步骤 3 中的'起点'其实是步骤 1 中的'终点'（B 柱），而'辅助柱'则是 A 柱。

算法流程

基于上述分析，我们可以设计一个递归函数 dfs。它的职责是将指定数量的盘子从源柱子移动到目标柱子，并指定一个辅助柱子。

1. 终止条件：如果当前只需移动 1 个盘子（n=1），直接将其从源柱子弹出并压入目标柱子。
2. 递归分解：
   • 先将 n-1 个盘子从源柱子移到辅助柱子（此时目标柱子充当辅助角色）；
   • 再将第 n 个盘子（最大的那个）从源柱子移到目标柱子；
   • 最后将 n-1 个盘子从辅助柱子移到目标柱子（此时源柱子充当辅助角色）。

代码实现

下面是完整的 C++ 实现。注意观察参数传递的顺序变化，这是理解递归逻辑的关键点。

class Solution {
public:
    // 辅助递归函数：将 n 个盘子从 src 移到 dest，aux 作为中转
    {
         (n == ) {
            
            dest.(src.());
            src.();
            ;
        }
        
        
        (src, dest, aux, n - );
        
        
        dest.(src.());
        src.();
        
        
        (aux, src, dest, n - );
    }

    
    {
         n = A.();
        
        (A, B, C, n);
    }
};