C++ 递归算法实战：汉诺塔问题详解

C++ 递归算法实战：汉诺塔问题详解

核心思路

汉诺塔是递归思想的经典案例。解决这个问题的关键在于将大规模问题拆解为小规模子问题。

假设我们有三根柱子 A、B、C，初始时 A 柱上有 n 个盘子（从小到大叠放），目标是将所有盘子移动到 C 柱，且移动过程中大盘子不能压在小盘子上面。

我们可以这样思考：

• 当 n = 1 时：直接将 A 上的盘子移到 C 即可。
• 当 n > 1 时：
  1. 先将 A 上面的 n-1 个盘子借助 C 移动到 B；
  2. 将 A 上剩下的最大盘子直接移到 C；
  3. 最后将 B 上的 n-1 个盘子借助 A 移到 C。

通过这种'分而治之'的策略，无论盘子数量多少，最终都能转化为 n=1 的基础情况完成移动。

算法流程设计

我们需要一个递归函数来模拟上述过程。函数签名可以设计为 dfs(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C, int n)，其中 A、B、C 分别代表三个柱子，n 表示当前需要移动的盘子数量。

具体执行逻辑如下：

1. 终止条件：如果 n == 1，直接将 A 栈顶元素弹出并压入 C 栈，返回。
2. 递归步骤：
   • 调用 dfs(A, C, B, n-1)，将 A 的前 n-1 个盘子移到辅助柱 B。
   • 将 A 的剩余最大盘子移到目标柱 C。
   • 调用 dfs(B, A, C, n-1)，将 B 上的 n-1 个盘子移到目标柱 C。

这里要注意参数顺序的变化。在第一次递归中，C 充当了辅助角色；在第二次递归中，A 变成了辅助角色。理解这一点对于正确实现代码至关重要。

代码实现

下面给出完整的 C++ 实现。为了便于调试和理解，我在关键位置添加了注释。

class Solution {
public:
    // 深度优先搜索辅助函数
    // A: 源柱子，B: 辅助柱子，C: 目标柱子，n: 待移动盘子数
    void dfs(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C, int n) {
        if (n == 1) {
            // 基础情况：只有一个盘子，直接移动
            C.push_back(A.back());
            A.pop_back();
            return;
        }
        
        // 1. 将 A 上方的 n-1 个盘子移到辅助柱 B
        dfs(A, C, B, n - 1);
        
        
        C.(A.());
        A.();
        
        
        (B, A, C, n - );
    }

    
    {
         n = A.();
        (A, B, C, n);
    }
};