C++ 二叉搜索树（BST）原理与完整实现

2.1.2.2 二叉搜索树的默认构造

// 方法二
BSTree() = default;

2.1.2.3 二叉搜索树的拷贝构造

前面的链式结构的树的拷贝需要递归完成（即使用了递归），所以访问私有成员（在类外面调用该函数会出错）。而这个函数的实现过程仅供内部使用，所以这里应该定义一个私有函数，再定义一个公有函数来调用对应的私有函数。

public:
    // 拷贝构造
    BSTree(const BSTree<K>& t) {
        _root = Copy(t._root);
    }

private:
    Node* Copy(Node* root) {
        if (root == nullptr) {
            return nullptr;
        }
        // 注意：这里不能直接赋值 root，需要 new 一个新节点
        Node* copy = new Node(root->_key);
        copy->_left = Copy(root->_left);
        copy->_right = Copy(root->_right);
        return copy;
    }

2.1.2.4 二叉搜索树的赋值重载

public:
    // 赋值重载
    BSTree& operator=(const BSTree<K>& t) {
        swap(_root, t._root);
        return *this;
    }

2.1.2.5 二叉搜索树的析构

前面的链式结构的树的拷贝需要递归完成，所以访问私有成员（在类外面调用该函数会出错）。而这个函数的实现过程仅供内部使用，所以这里应该定义一个私有函数，再定义一个公有函数来调用对应的私有函数。

public:
    // 析构函数
    ~BSTree() {
        Destroy(_root);
    }

private:
    void Destroy(Node* root) {
        if (root == nullptr) {
            return;
        }
        Destroy(root->_left);
        Destroy(root->_right);
        delete root;
    }

2.2 二叉搜索树的插入

2.2.1 二叉搜索树的插入整体思路

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给 root 指针。
2. 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。
3. 注意：如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）。【这里我们不讲，一般不用】

2.2.2 二叉搜索树的插入代码实现

// 1 插入数据 - 不支持插入已有数据
bool Insert(const K& key) {
    // 树为空，则直接新增结点，赋值给 root 指针
    if (_root == nullptr) {
        _root = new Node(key);
        return true;
    }
    
    // 由于二叉搜索树的特征，所以要先找到插入的位置；
    // 由于要改变节点直接之间的指向关系，所以要定义两个变量
    // 一个变量用于遍历，一个用于储存要插入位置的父节点，方便改变节点之间的指向关系
    Node* cur = _root;      // 用于遍历
    Node* parent = nullptr; // 用于储存要插入位置的父节点
    
    while(cur) {
        if (cur->_key < key) { // 插入值比当前结点大往右走
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        } else if (cur->_key > key) { // 插入值比当前结点小往左走
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        } else { // 找到插入位置（已存在）
            return false;
        }
    }
    
    cur = new Node(key); // 创建新节点
    // 要判断插入的是当前节点的左子节点还是右子节点
    if (parent->_key < key) {
        parent->_right = cur;
    } else {
        parent->_left = cur;
    }
    return true;
}

2.3 二叉搜索树的查找

2.3.1 二叉搜索树的查找整体思路

1. 从根开始比较，查找 x，x 比根的值大则往右边找，x 比根值小则往左边找。
2. 最多查找高度次，走到空，还没找到，这个值不存在。
3. 如果不支持插入相等的值，找到 x 即可返回。注意：如果支持插入相等的值，意味着有多个 x 存在，一般要求查找中序的第一个 x。

2.3.2 二叉搜索树的查找代码实现

// 2 查找数据
bool Find(const K& key) {
    Node* cur = _root;
    while (cur) {
        if (cur->_key < key) { // 从根开始比较，查找 x，x 比根的值大则往右边找
            cur = cur->_right;
        } else if (cur->_key > key) { // x 比根值小则往左边找
            cur = cur->_left;
        } else {
            return true; // 找到返回
        }
    }
    return false; // 走到空，还没找到，这个值不存在。
}

2.4 二叉搜索树的删除（最难）

2.4.1 二叉搜索树删除的整体思路

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回 false。如果查找元素存在则分以下四种情况（假设要删除的结点为 x）：

• 情况一：问题：要删除结点 x 左右孩子均为空。
  • 解决办法：把 x 结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除 x 结点。
• 情况二：问题：要删除的结点 x 左孩子位空，右孩子结点不为空。
  • 解决办法：把 x 结点的父亲对应孩子指针指向 x 的右孩子，在直接删除 x 结点。
• 情况三：问题：要删除的结点 x 右孩子位空，左孩子结点不为空。
  • 解决办法：把 x 结点的父亲对应孩子指针指向 x 的左孩子，在直接删除 x 结点。
• 情况四（最复杂）：问题：要删除的结点 x 左右孩子结点均不为空。
  • 解决办法：无法直接删除 x 结点，因为 x 的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找 x 左子树的值最大结点 R（最右结点）或者 x 右子树的值最小结点 R（最左结点）替代 x，因为这两个结点中任意一个，放到 x 的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代 x 的意思就是 x 和 R 的两个结点的值交换，转而变成删除 R 结点，R 结点符合情况 2 或情况 3，可以直接删除。

总结：情况 1 可以当成 2 或者 3 处理，效果是一样的。这些情况就好比一个人生孩子，如果只是生了一个孩子甚至没生孩子可以找父母帮忙，如果生了两个孩子父母忙不过来怎么办呢？这时候可以找一个保姆的思路。

2.4.2 二叉搜索树删除的代码实现

// 删除数据
bool Erase(const K& key) {
    // 先找到要删除的节点的位置
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    
    while (cur) {
        if (cur->_key < key) {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        } else if (cur->_key > key) {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        } else {
            // 找到了，准备删除数据
            // 分为三种情况
            // 1 左孩子为空，左右孩子为空可以一起处理
            if (cur->_left == nullptr) {
                if (cur == _root) { // 要删除的节点就是根节点，直接改变根节点的指向即可
                    _root = cur->_right;
                } else {
                    // 要删除的节点不是根节点，要判断要删除的节点是其父节点的左孩子还是右孩子，方便改变节点直接的指向关系
                    if (cur == parent->_left) {
                        parent->_left = cur->_right;
                    } else {
                        parent->_right = cur->_right;
                    }
                }
                delete cur; // 删除要删除的结点
            } 
            // 2 右孩子为空
            else if (cur->_right == nullptr) {
                if (cur == _root) { // 要删除的节点就是根节点，直接改变根节点的指向即可
                    _root = cur->_left;
                } else {
                    // 要删除的节点不是根节点，要判断要删除的节点是其父节点的左孩子还是右孩子，方便改变节点直接的指向关系
                    if (cur == parent->_left) {
                        parent->_left = cur->_left;
                    } else {
                        parent->_right = cur->_left;
                    }
                }
                delete cur; // 删除要删除的结点
            } 
            // 3 有两孩子 - 两种处理方法这里使用找右子树中最小值节点
            else {
                Node* pMinRight = cur;
                Node* minRight = cur->_right;
                // 找到右子树中值最小的节点
                while (minRight->_left) {
                    pMinRight = minRight;
                    minRight = minRight->_left;
                }
                // 交换值
                std::swap(minRight->_key, pMinRight->_key);
                // 此时 minRight 变成了待删除节点，且它没有左孩子，转化为情况 2
                if (pMinRight->_left == minRight) {
                    pMinRight->_left = minRight->_right;
                } else {
                    pMinRight->_right = minRight->_right;
                }
                delete minRight;
            }
            return true;
        }
    }
    return false;
}

2.5 二叉搜索树的排序（使用中序遍历）

由于使用到了中序遍历即使用了递归，所以访问私有成员（在类外面调用该函数会出错），所以这里应该定义一个私有函数，再定义一个公有函数来调用对应的私有函数。

// 排序 - 利用其特点这里可以使用中序遍历
void InOrder() { // 定义一个公有函数来调用对应的私有函数
    _InOrder(_root);
    cout << endl;
}

private:
void _InOrder(Node* root) { // 定义一个私有函数
    if (root == nullptr) {
        return;
    }
    _InOrder(root->_left);
    cout << root->_key << " ";
    _InOrder(root->_right);
}

三、Key 和 (Key, Value) 结构

上面我们实现的二叉搜索树，节点中只储存了一个值 (key)，key 称为关键码，关键码即为需要搜索到的值，使用这种搜索二叉树只需要判断 key 是否存在。key 的搜索场景实现的二叉搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改 key 破坏搜索树结构了（性质）。

这里还有一种搜索二叉树：(key, value) 结构的二叉搜索树：每一个关键码还是 key，但是每一个关键码都有与之对应的值 value，value 可以任意类型对象。所以树的结构中（结点）除了需要存储 key 还要存储对应的 value，注意增/删/查还是以 key 为关键字在二叉搜索树的规则下操作，这里不支持修改 key，支持修改 value。

4.1 Key 和 (Key, Value) 结构搜索二叉树的定义

namespace key_value {
    template<class K, class V> struct BSTreeNode {
        BSTreeNode<K, V>* _left;
        BSTreeNode<K, V>* _right;
        K _key;
        V _value;
        
        BSTreeNode(const K& key, const V& value) :_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key), _value(value) {}
    };
    
    template<class K, class V> class BSTree {
        typedef BSTreeNode<K, V> Node;
    public:
        // 强制生成
        BSTree() = default;
        
        // 拷贝构造
        BSTree(const BSTree<K, V>& t) {
            _root = Copy(t._root);
        }
        
        // 赋值重载
        BSTree& operator=(const BSTree<K, V>& t) {
            swap(_root, t._root);
            return *this;
        }
        
        // 析构
        ~BSTree() {
            Destory(_root);
            _root = nullptr;
        }
        
        bool Insert(const K& key, const V& value) {
            if (_root == nullptr) {
                _root = new Node(key, value);
                return true;
            }
            Node* parent = nullptr;
            Node* cur = _root;
            while (cur) {
                if (cur->_key < key) {
                    parent = cur;
                    cur = cur->_right;
                } else if (cur->_key > key) {
                    parent = cur;
                    cur = cur->_left;
                } else {
                    return false;
                }
            }
            cur = new Node(key, value);
            if (parent->_key < key) {
                parent->_right = cur;
            } else {
                parent->_left = cur;
            }
            return true;
        }
        
        Node* Find(const K& key) {
            Node* cur = _root;
            while (cur) {
                if (cur->_key < key) {
                    cur = cur->_right;
                } else if (cur->_key > key) {
                    cur = cur->_left;
                } else {
                    return cur;
                }
            }
            return nullptr;
        }
        
        bool Erase(const K& key) {
            Node* parent = nullptr;
            Node* cur = _root;
            while (cur) {
                if (cur->_key < key) {
                    parent = cur;
                    cur = cur->_right;
                } else if (cur->_key > key) {
                    parent = cur;
                    cur = cur->_left;
                } else {
                    // 准备删除
                    if (cur->_left == nullptr) {
                        if (cur == _root) {
                            _root = cur->_right;
                        } else {
                            if (cur == parent->_left) {
                                parent->_left = cur->_right;
                            } else {
                                parent->_right = cur->_right;
                            }
                        }
                        delete cur;
                    } else if (cur->_right == nullptr) {
                        if (cur == _root) {
                            _root = cur->_left;
                        } else {
                            if (cur == parent->_left) {
                                parent->_left = cur->_left;
                            } else {
                                parent->_right = cur->_left;
                            }
                        }
                        delete cur;
                    } else { // 两个孩子
                        Node* pMinRight = cur;
                        Node* minRight = cur->_right;
                        while (minRight->_left) {
                            pMinRight = minRight;
                            minRight = minRight->_left;
                        }
                        std::swap(cur->_key, minRight->_key);
                        if (pMinRight->_left == minRight) {
                            pMinRight->_left = minRight->_right;
                        } else {
                            pMinRight->_right = minRight->_right;
                        }
                        delete minRight;
                    }
                    return true;
                }
            }
            return false;
        }
        
        void InOrder() {
            _InOrder(_root);
            cout << endl;
        }
        
    private:
        void _InOrder(Node* root) {
            if (root == nullptr) {
                return;
            }
            _InOrder(root->_left);
            cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
            _InOrder(root->_right);
        }
        
        void Destory(Node* root) {
            if (root == nullptr) {
                return;
            }
            Destory(root->_left);
            Destory(root->_right);
            delete root;
        }
        
        Node* Copy(Node* root) {
            if (root == nullptr) return nullptr;
            Node* copy = new Node(root->_key, root->_value);
            copy->_left = Copy(root->_left);
            copy->_right = Copy(root->_right);
            return copy;
        }
        
        Node* _root = nullptr;
    };
}

四、二叉搜索树使用场景

4.1 二叉搜索树 Key 使用场景

1. 小区无人值守车库：小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。
2. 拼写检查：检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

4.2 二叉搜索树 Key/Value 使用场景

1. 简单中英互译字典：树的结构中（结点）存储 key（英文）和 value（中文），搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。
2. 商场无人值守车库：入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间 - 入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。
3. 统计单词出现次数：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现（单词，1），单词存在，则 ++ 单词对应的次数。