C++ 哈希表核心机制：冲突处理与负载因子

3 ~> 哈希的一些概念

3.1 哈希冲突

直接定址法的缺点非常明显，当关键字的范围比较分散时，就很浪费内存甚至内存不够用。假设我们只有数据范围是 [0，9999] 的 N 个值，我们要映射到一个 M 个空间的数组中（一般情况下 M >= N），那么就要借助哈希函数(hash function) hf，关键字 key 被放到数组的 h(key) 位置，这里要注意的是 h(key) 计算出的值必须在 [O , M) 之间。

存在的一个问题就是，两个不同的 key 可能会映射到同一个位置去，这种问题我们叫做哈希冲突，或者哈希碰撞。理想情况是找出一个好的哈希函数避免冲突，但是实际场景中，冲突是不可避免的，所以我们尽可能设计出优秀的哈希函数，减少冲突的次数，同时也要去设计出解决冲突的方案。

3.2 负载因子

假设哈希表中已经映射存储了 N 个值，哈希表的大小为 M，那么负载因子 = N / M，负载因子有些地方也翻译为载荷因子/装载因子等，他的英文为 loadfactor。负载因子越大，哈希冲突的概率越高，空间利用率越高；负载因子越小，哈希冲突的概率越低，空间利用率越低。

3.3 将关键字转为整数

我们将关键字映射到数组中位置，一般是整数好做映射计算，如果不是整数，我们要想办法转换成整数，这个细节我们后面代码实现中再进行细节展示。下面哈希函数部分我们讨论时，如果关键字不是整数，那么我们讨论的 Key 是关键字转换成的整数。

4 ~> 哈希函数

4.1 除法散列法 / 除留余数法

1. 除法散列法也叫做除留余数法，顾名思义，假设哈希表的大小为 M，那么通过 key 除以 M 的余数作为映射位置的下标，也就是哈希函数为：h(key) = key % M。
2. 当使用除法散列法时，要尽量避免 M 为某些值，如 2 的幂，10 的幂等。如果是 2^X，key % 2^X 本质相当于保留 key 的后 X 位（后 X 位相同的值），计算出的哈希值都是一样的——就冲突了。比如：[63，31} 看起来没有关联的值，如果 M 是 16，也就是 2^4，那么计算出的哈希值都是 15，因为 63 的二进制后 8 位是 00111111，31 的二进制后 8 位是 00011111。如果是 10^x，就更明显了，保留的都是 10 进值的后 X 位，如：[112,12312}，如果 M 是 100(10^2)，计算出的哈希值都是 12。
3. 当使用除法散列法时，建议 M 取不太接近 2 的整数次幂的一个质数（素数）。

前面的第三点建议 M 取一个不太接近 2 的整数次幂的质数，Java 中，HashMap 采用除法散列法时就是 2 的整数次幂做哈希表的 M，这样一来我们可以直接位运算，相对取模会更加高效些。只是 Java 不是单纯地取模，比如说 M 是 2^16，本质上是取后 16 位，那么用 key' = key >> 16，然后把 key 和 key' 异或的结果作为哈希值，也就是说：我们可以映射的值在 [0 , M] 范围内，尽可能让 key 所有的位都参与计算，这样映射出的哈希值更加均匀一些，因此，大多数数据结构书籍中写的基本是这个理论，我们实践中还是建议灵活运用。

4.2 乘法散列法（了解即可）

乘法散列法对哈希表大小 M 没有要求，这里介绍一下大思路，第一步：用关键字 K 乘上常数 A（0 < A < 1)，并抽取出 k*A 的小数部分；第二步：后再用 M 乘以 k * A 的小数部分，再向下取整。

h(key) = floor(M * ((A * key) % 1.0))，其中 floor 表示对表达式进行下取整，A \in (0 , 1)，%1.0 是为了取小数，这里最重要的是 A 的值应该如何设定，Knuth 认为 A = (sqrt(5) - 1) / 2 = 0.6180339887...（黄金分割点) 比较好。

乘法散列法对哈希表大小 M 是没有要求的，假设 M 为 1024，key 为 1234，A = 0.6180339887，A * key = 762.6539420558，取小数部分为 0.6539420558,M * ((A * key) % 1.0) = 0.6539420558*1024 = 669.6366651392，那么 h(1234) = 669。

4.3 全域散列法（了解即可）

如果存在这样一个恶意的对手，他针对我们提供的散列函数，特意构造出一个发生严重冲突的数据集，比如，让所有关键字全部落入同一个位置中——这种情况是可以存在的，只要散列函数是公开且确定的，就可以实现此攻击。解决方法自然是见招拆招，给散列函数增加随机性，攻击者就无法找出确定可以导致最坏情况的数据。这种方法叫做全域散列。

hab(key) = ((a * key + b) % P) % M，P 需要选一个足够大的质数，a 可以随机选 [1 , P - 1] 之间的任意整数，b 可以随机选 [0 , P - 1] 之间的任意整数，这些函数构成了一个 P * (P - 1) 组全域散列函数组。假设 P = 17，M = 6，a = 3，b = 4,则 h34(8) = ((3 * 8 + 4) % 17) % 6 = 5。

需要注意的是每次初始化哈希表时，随机选取全域散列函数组中的一个散列函数使用，后续增删查改都固定使用这个散列函数，否则每次哈希都是随机选一个散列函数，那么插入是一个散列函数，查找又是另一个散列函数，就会导致找不到插入的 key 了。

4.4 其他方法（了解即可）

上面的几种方法是在《算法导论》这本书籍中讲解的方法。 《殷人昆数据结构：用面向对象方法与 C++ 语言描述 (第二版)》和《数据结构 (C 语言版).严蔚敏，吴伟民》等教材型书籍上面还给出了平方取中法、折叠法、随机数法、数学分析法等，这些方法相对更适用于一些局限的特定场景，大家如果有兴趣可以去看看这些书籍。

5 ~> 处理哈希冲突

实践中哈希表一般还是选择除法散列法作为哈希函数，当然哈希表无论选择什么哈希函数也避免不了冲突，因为冲突是避免不了的，我们只能减少冲突，那么插入数据时，如何解决冲突呢？主要有两种方法，开放定址法和链地址法。

5.1 开放定址法

在开放定址法中所有的元素都放到哈希表里，当一个关键字 key 用哈希函数计算出的位置冲突了，则按照某种规则找到一个没有存储数据的位置进行存储，开放定址法中负载因子一定是小于 1 的。这里的规则有三种：线性探测、二次探测、双重探测。

5.1.1 线性探测（含堆积问题）

我们先简单谈谈'堆积 / 群积问题'。 如下图所示，连续占用会导致探测路径变长。

5.1.2 二次探测

二次探测使用平方增量来寻找下一个可用位置。

5.1.3 双重探测

双重探测使用第二个哈希函数来计算增量。

5.2 详解开放定址法代码

开放定址法在实践中是不如下面会介绍的链地址法的，因为开放定址法解决冲突不管使用哪种方法，占用的都是哈希表中的空间，始终存在互相影响的问题——正因如此，开放定址法我们简单选择线性探测实现即可。

5.2.1 哈希表结构

enum State { EXIST, EMPTY, DELETE }; template<class K, class V> struct HashData { pair<K, V> _kv; State _state = EMPTY; }; template<class K, class V> class HashTable { private: vector<HashData<K, V>> _tables; size_t _n = 0; // 表中存储数据个数 };

要注意的是这里需要给每个存储值的位置加一个状态标识，否则删除一些值以后，会影响后面冲突的值的查找。如下图所示，我们删除 30，会导致查找 20 失败，当我们给每个位置加一个状态标识 {EXIST，EMPTY, DELETE}，删除 30 就可以不用删除值，而是把状态改为 DELETE，那么查找 20 时是遇到 EMPTY 才能停止，就可以找到 20。

h(19) = 8，h(30) = 8，h(5) = 5，h(36) = 3，h(13) = 2，h(20) = 9，h(21) = 10，h(12) = 1。

5.2.2 扩容问题

这里我们哈希表负载因子控制在 0.7，当负载因子到 0.7 以后我们就需要扩容了，我们还是按照 2 倍的方式扩容，但是同时我们要保持哈希表大小是一个质数，第一个是质数，2 倍后就不是质数了。如何解决？一种方案就是上面在【除法散列法】中我们介绍过的 JavaHashMap 的使用 2 的整数次幂，但是计算时不能直接取模的改进方法；另外一种方案是 SGI 版本的哈希表使用的方法，给了一个近似 2 倍的质数表，每次去质数表获取扩容后的大小。

5.2.3 key 不能取模的问题

当 key 是 string / Date 等类型时，key 不能取模，我们需要给 HashTable 增加一个仿函数，这个仿函数支持把 key 转换成一个可以取模的整型，如果 key 可以转换为整型并且不容易冲突，那么这个仿函数就用默认参数即可，如果这个 Key 不能转换为整型，我们就需要自己实现一个仿函数传给这个参数，实现这个仿函数的要求就是尽量 key 的每值都参与到计算中，让不同的 key 转换出的整型值不同。string 做哈希表的 key 非常常见，所以我们可以考虑把 string 特化一下——

template<class K> struct HashFunc { size_t operator()(const K& key) { return (size_t)key; } }; // 特化 template<> struct HashFunc<string> { // 字符串转换成整形，可以把字符 ascii 码相加即可 // 但是直接相加的话，类似"abcd"和"bcad"这样的字符串计算出是相同的 // 这里我们使用 BKDR 哈希的思路，用上次的计算结果去乘以一个质数，这个质数一般去 31, 131 等效果会比较好 size_t operator()(const string& key) { size_t hash = 0; for (auto e : key) { hash *= 131; hash += e; } return hash; } }; template<class K, class V, class Hash = HashFunc<K>> class HashTable { public: private: vector<HashData<K, V>> _tables; size_t _n = 0; // 表中存储数据个数 };

5.3 链地址法

5.3.1 对比开放定址法和链地址法

对比一下——开放定址法适合数据量较小且冲突少的情况，链地址法适合数据量大且允许链表增长的情况。

5.3.2 哈希桶概念及其示例

开放定址法中所有的元素都放到哈希表里，链地址法中所有的数据不再直接存储在哈希表中，哈希表中存储一个指针，没有数据映射这个位置时，这个指针为空，有多个数据映射到这个位置时，把这些冲突的数据链接成一个链表，挂在哈希表这个位置下面，像是一个个挂在晾衣杆的水桶，链地址法也叫做拉链法或者哈希桶。

以 {19，30，5，36，13，20，21，12，24，96} 这一组值为例，映射到 M = 11 的表中—— h(19) = 8，h(30) = 8，h(5) = 5，h(36) = 3，h(13) = 2，h(20) = 9，h(21) = 10，h(12) = 1,h(24) = 2，h(96) = 88

5.3.3 扩容

开放定址法负载因子必须小于 1，链地址法的负载因子就没有限制了，可以大于 1。负载因子越大，哈希冲突的概率越高，空间利用率越高；负载因子越小，哈希冲突的概率越低，空间利用率越低。stl 中 unordered_xxx 的最大负载因子基本控制在 1（负载因子平均是 1，但是这是理想的情况，当然没有那么平均，有的哈希桶不挂，有的挂 2~3 个），大于 1 就扩容，之后在代码实现中也使用这个方式进行扩容。 扩容有分散的意思在——平均每个桶的长度变短。

5.3.4 极端场景

如果在极端场景下，某个桶特别长怎么办？我们其实可以考虑使用全域散列法，这样就不容易被针对了。假设不是被针对了，此时虽然用了全域散列法，但是在偶然情况下，某个桶很长，查找效率很低怎么办呢？这里在 Java8 的 HashMap 中，当桶的长度超过一定阀值（8）时就把链表转换成红黑树，我们知道红黑树是近似平衡，时间复杂度很稳定，O(logN)，而哈希在插入的时候会'抽风'，而且随着插入次数增加，'抽风'程度会愈演愈烈。 不过，一般情况下，不断扩容，单个桶很长的场景还是比较少的，这个解决极端场景的思路，读者这里可以了解一下。 换红黑树也是一种解决方案。

5.4 哈希桶代码实现

5.4.0 在私有定义成员变量

5.4.1 插入

5.4.2 查找

5.4.3 删除

完整代码示例与实践演示

HashTable.h：

#pragma once #include<vector> static const int __stl_num_primes = 28; static const unsigned long __stl_prime_list[__stl_num_primes] = { 53, 97, 193, 389, 769, 1543, 3079, 6151, 12289, 24593, 49157, 98317, 196613, 393241, 786433, 1572869, 3145739, 6291469, 12582917, 25165843, 50331653, 100663319, 201326611, 402653189, 805306457, 1610612741, 3221225473, 4294967291 }; inline unsigned long __stl_next_prime(unsigned long n) { const unsigned long* first = __stl_prime_list; const unsigned long* last = __stl_prime_list + __stl_num_primes; // >= n const unsigned long* pos = lower_bound(first, last, n); return pos == last ? *(last - 1) : *pos; } template<class K> struct HashFunc { size_t operator()(const K& key) { return (size_t)key; } }; // 特化 template<> struct HashFunc<string> { size_t operator()(const string& key) { size_t hash = 0; for (auto ch : key) { hash += ch; hash *= 131; } return hash; } }; namespace open_address { enum State { EMPTY, EXIST, DELETE }; template<class K, class V> struct HashData { pair<K, V> _kv; State _state = EMPTY; }; template<class K, class V, class Hash = HashFunc<K>> class HashTable { public: HashTable() :_tables(__stl_next_prime(1)) { } bool Insert(const pair<K, V>& kv) { if (Find(kv.first)) return false; // 满了 / 快满了就要扩容，负载因子 >= 0.7 就要扩容 if ((double)_n / (double)_tables.size() >= 0.7) // 至少强转一个 { //vector<HashData<K, V>> newTables(__stl_next_prime(_tables.size() * 2)); // //_tables.resize()； // 扩容可以直接 resize 吗？哈希表的扩容不是那么简单的，要重新分配 // std::vector<HashData> newtables(_tables.size()); // for (size_t i = 0; i < _tables, size(); i++) // { // if (_tables[i]._state == EXIST) // { // // 重新映射到新表 // // ... // } // } // // _tables.swap(newtables); HashTable<K, V, Hash> newht; newht._tables.resize(__stl_next_prime(_tables.size() + 1)); for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++) { // 遍历旧表，旧表数据插入到 newht if (_tables[i]._state == EXIST) { newht.Insert(_tables[i]._kv); } } _tables.swap(newht._tables); } Hash hs; // 插入的逻辑 size_t hash0 = hs(kv.first) % _tables.size(); // 只能模 size，不能模 capacity // []访问必须要在 size 访问之内，模 capacity 放不进去（尽可能让 capacity 和 size 一致） // 线性探测 size_t i = 1; // 第一次就不加了 size_t hashi = hash0; while (_tables[hashi]._state == EXIST) { hashi = (hash0 + i) % _tables.size(); // 取模，回绕回去 ++i; // 不断加 i } _tables[hashi]._kv = kv; _tables[hashi]._state = EXIST; ++_n; return true; } HashData<K, V>* Find(const K& key) { Hash hs; size_t hash0 = hs(key) % _tables.size(); //线性探测 size_t i = 1; size_t hashi = hash0; while (_tables[hashi]._state != EMPTY) { if (_tables[hashi]._state != DELETE && _tables[hashi]._kv.first == key) { return &_tables[hashi]; } hashi = (hash0 + i) % _tables.size(); ++i; } return nullptr; } bool Erase(const K& key) { HashData<K, V>* ret = Find(key); if (ret) { ret->_state = DELETE; --_n; return true; } else { return false; } } private: std::vector<HashData<K, V>> _tables; // 指针数组 size_t _n = 0; // 存储的有效数据个数 }; } namespace Hash_bucket { template<class K,class V> struct HashNode { pair<K, V> _kv; HashNode<K, V>* _next; HashNode(const pair<K,V>& kv) :_kv(kv) ,_next(nullptr) {} }; template<class K, class V,class Hash = HashFunc<K>> class HashTable { typedef HashNode<K, V> Node; public: HashTable() :_tables(__stl_next_prime(1),nullptr) ,_n(0) { } // 析构，要单独实现 ~HashTable() { for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++) { Node* cur = _tables[i]; while (cur) { Node* next = cur->_next; delete cur; cur = next; } _tables[i] = nullptr; } _n = 0; } bool Insert(const pair<K, V>& kv) { if (Find(kv.first)) return false; Hash hs; // 除余都要套上 hs // 负载因子 == 1 就开始扩容 if (_n == _tables.size()) { //HashTable<K, V> newht; //newht._tables.resize(_tables.size() * 2); //for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++) //{ // // 遍历旧表，旧表数据插入到 newht // Node* cur = _tables[i]; // while (cur) // { // newht.Insert(cur->_kv); // cur = cur->_next; // } //} //_tables.swap(newht._tables); std::vector<Node*> newtables(__stl_next_prime(_tables.size() + 1), nullptr); for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++) { // 遍历旧表，旧表节点重新映射，挪动到新表 Node* cur = _tables[i]; while (cur) { Node* next = cur->_next; // 头插 size_t hashi = hs(cur->_kv.first) % newtables.size(); cur->_next = newtables[hashi]; newtables[hashi] = cur; cur = next; } _tables[i] = nullptr; } _tables.swap(newtables); } size_t hashi = hs(kv.first) % _tables.size(); // 头插 Node* newnode = new Node(kv); newnode->_next = _tables[hashi]; _tables[hashi] = newnode; ++_n; // 插入，_n 是有效数据个数，要++ return true; } Node* Find(const K& key) { Hash hs; size_t hashi = hs(key) % _tables.size(); Node* cur = _tables[hashi]; while (cur) { if (cur->_kv.first == key) { return cur; } cur = cur->_next; } return nullptr; } bool Erase(const K& key) { Hash hs; size_t hashi = hs(key) % _tables.size(); Node* prev = nullptr; Node* cur = _tables[hashi]; while (cur) { if (cur->_kv.first == key) { // 删除 if (prev == nullptr) { // 哈希桶中的第一个节点 _tables[hashi] = cur->_next; } else { prev->_next = cur->_next; } --_n; // _n 是有效数据个数，每次删除之后都要减减 delete cur; return true; } prev = cur; cur = cur->_next; } return false; } private: std::vector<Node*> _tables; // 指针数组 size_t _n; // 存储的有效数据个数 //std::vector<std::list<K, V>> _tables; // 不是实现不了，而是这种实现太绕了，而且比较抽象，现阶段对我们来说还是太难了 }; }

Test.cpp：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 #include<iostream> #include<unordered_map> using namespace std; #include"HashTable.h" namespace open_address { void TestHT1() { int a[] = { 19,30,5,36,13,20,21,12,58 }; HashTable<int, int> ht; for (auto e : a) { ht.Insert({ e,e }); } ht.Insert({ 2,2 }); ht.Insert({ 22,22 }); cout << ht.Find(5) << endl; cout << ht.Find(58) << endl; ht.Erase(5); cout << ht.Find(5) << endl; cout << ht.Find(58) << endl; //for (size_t i = 0; i < 100; i++) //{ // ht.Insert({ rand(),i }); //} } struct HashFuncString { // BKDR size_t operator()(const string& key) { size_t hash = 0; for (auto ch : key) { hash += ch; hash *= 131; } return hash; } }; void TestHT2() { //HashTable<string, string, HashFuncString> dict; HashTable<string, string> dict; dict.Insert({ "string","字符串" }); // string 无法取模 dict.Insert({ "string","字符串 1" }); dict.Insert({ "left","左边" }); dict.Insert({ "right","右边" }); cout << dict.Find("string") << endl; cout << dict.Find("left") << endl; cout << dict.Find("left ") << endl; HashFuncString hfs; cout << hfs("abcd") << endl; cout << hfs("acbd") << endl; cout << hfs("aadd") << endl; unordered_map<string, string> dictmap; dictmap.insert({ "string","字符串" }); // 编译报错，需要自己实现 Hash 的仿函数把 key 转成整形 //unordered_map<pair<string, int>, string> um; //um.insert({ {"string", 1}, "字符串" }); } } namespace Hash_bucket { void TestHT1() { int a[] = { 19,30,5,36,13,20,21,12,58 }; HashTable<int, int> ht; for (auto e : a) { ht.Insert({ e,e }); } ht.Insert({ 2,2 }); ht.Insert({ 22,22 }); ht.Insert({ 44,44 }); // 这两个过了就说明代码没问题了：先删 58 再删 36 ht.Erase(58); ht.Erase(36); } void TestHT2() { HashTable<string, string> dict; dict.Insert({ "string","字符串" }); // string 无法取模 dict.Insert({ "string","字符串 1" }); dict.Insert({ "left","左边" }); dict.Insert({ "right","右边" }); cout << dict.Find("string") << endl; cout << dict.Find("left") << endl; cout << dict.Find("left ") << endl; } } int main() { // open_address::TestHT1(); //open_address::TestHT2(); Hash_bucket::TestHT1(); //Hash_bucket::TestHT2(); return 0; }

运行结果

open_address::TestHT1()：

（此处省略具体输出截图，逻辑验证通过）

open_address::TestHT2()：

（此处省略具体输出截图，逻辑验证通过）

Hash_bucket::TestHT1()：

（此处省略具体输出截图，逻辑验证通过）

Hash_bucket::TestHT2()：

（此处省略具体输出截图，逻辑验证通过）

总结

本文详细介绍了 C++ 哈希表的实现原理，包括哈希函数设计、冲突处理方法（开放定址法与链地址法）以及扩容机制。通过代码示例展示了如何构建基础的哈希表类，并讨论了在实际应用中需要注意的状态管理、负载因子控制及自定义哈希函数等问题。