C++ 红黑树详解：原理、插入与验证

C++ 红黑树详解：原理、插入与验证

红黑树是一种自平衡二叉查找树，每个节点都带有颜色属性（红色或黑色）。可以将其理解为 AVL 树的进阶版，建议在系统学习完 AVL 树后再深入理解本文内容。

1. 红黑树的概念

![图示：红黑树结构示意]

红黑树本质上是一棵二叉搜索树，但在每个结点上增加了一个存储位表示结点的颜色。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保最长路径的节点数量不超过最短路径节点数量的两倍，因而是接近平衡的。

一个合格的红黑树需要满足以下五个条件：

• 每个结点不是红色就是黑色
• 根节点是黑色的
• 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点必须是黑色的，即没有连续的红色节点
• 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点
• 每个叶子结点都是黑色的（此处的叶子结点指的是空结点）

为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

最短路径仅由黑色节点构成。因为如果路径中插入红色节点，会使路径变长，而全黑路径不包含额外红色节点，所以是最短的。

最长路径则是红黑交替出现的路径。即每一个黑色节点后面都跟着一个红色节点（但红色节点后不能再有红色节点）。

设最短路径的黑色节点数量为 n，由于所有路径黑色节点数量相同，最长路径的黑色节点数量也为 n，那么最长路径由于红黑交替的节点总数最多为 2n。所以，最长路径的节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍。

2. 红黑树的结构

enum Colour { RED, BLACK };

template<class K, class V>
struct RBTreeNode {
    RBTreeNode<K, V>* _left;
    RBTreeNode<K, V>* _right;
    RBTreeNode<K, V>* _parent;
    pair<K, V> _kv;
    Colour _col;

    RBTreeNode(const pair<K, V>& kv) : _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED) {}
};

在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？

红黑树的性质要求从根节点到每个叶子节点的路径上黑色节点数量相同。将新节点设为红色，在插入过程中，如果其父节点是黑色，那么插入红色节点不会影响任何路径上黑色节点的数量，也就不需要对树进行调整来满足红黑树的性质，从而减少了调整的可能性，提高了插入操作的效率。

如果新节点是黑色，那么插入后可能会导致某个路径上的黑色节点数量增加，这会引发更复杂的'双黑'问题，处理起来相对复杂。而默认新节点为红色，出现的问题主要是红节点冲突，处理逻辑相对简单。

3. 红黑树的插入

typedef RBTreeNode<K, V> Node;

bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
    // 根节点为空的情况
     (_root == ) {
        _root =  (kv);
        _root->_col = BLACK;
         ;
    }

    
    Node* parent = ;
    Node* cur = _root;
     (cur) {
         (cur->_kv.first < kv.first) {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        }   (cur->_kv.first > kv.first) {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        }  {
             ; 
        }
    }

    
    cur =  (kv);
    cur->_col = RED;
     (parent->_kv.first < kv.first) {
        parent->_right = cur;
    }  {
        parent->_left = cur;
    }
    cur->_parent = parent;

    
     (parent && parent->_col == RED) {
        Node* grandfather = parent->_parent;
        
         (parent == grandfather->_left) {
            Node* uncle = grandfather->_right;
            
            
             (uncle && uncle->_col == RED) {
                
                parent->_col = uncle->_col = BLACK;
                grandfather->_col = RED;
                
                cur = grandfather;
                parent = cur->_parent;
            }  {
                
                 (cur == parent->_left) {
                    
                    (grandfather);
                    parent->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                }  {
                    
                    (parent);
                    (grandfather);
                    cur->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                }
                ;
            }
        }  {
            
            Node* uncle = grandfather->_left;
            
            
             (uncle && uncle->_col == RED) {
                
                parent->_col = uncle->_col = BLACK;
                grandfather->_col = RED;
                
                cur = grandfather;
                parent = cur->_parent;
            }  {
                 (cur == parent->_right) {
                    
                    (grandfather);
                    grandfather->_col = RED;
                    parent->_col = BLACK;
                }  {
                    
                    (parent);
                    (grandfather);
                    cur->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                }
                ;
            }
        }
    }
    _root->_col = BLACK;
     ;
}