时间序列建模基础：差分、ACF/PACF 与 AR/MA/ARMA 模型

1.3 用'随机游走 + 趋势'构造一个典型的非平稳序列

随机游走（Random Walk）是时间序列里非常经典的'非平稳'例子：它会随时间漂移，没有稳定的均值；叠加一个线性趋势后，非平稳性会更明显。

下面我们生成一段数据，并用 ADF 检验 + 一阶差分来观察'治疗前后'的变化。

# 1) 生成非平稳数据：随机游走 + 线性趋势
np.random.seed(42)
n = 500
random_walk = np.random.randn(n).cumsum()  # 累积和 -> 随机游走
trend = np.linspace(0, 100, n)  # 线性趋势
data = pd.Series(random_walk + trend)
data.index = pd.date_range(start="2022-01-01", periods=n, freq="D")

plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.plot(data)
plt.title("原始序列：随机游走 + 趋势（明显非平稳）")
plt.tight_layout()
plt.show()
adf_test(data, name="原始序列")

[原始序列] ADF Statistic: 0.1358
[原始序列] p-value : 0.968421
[原始序列] Critical : {'1%': -3.4435, '5%': -2.8673, '10%': -2.5699}

# 2) 一阶差分：尝试消除趋势
data_diff_1 = data.diff().dropna()

plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.plot(data_diff_1)
plt.axhline(0, color="gray", linewidth=1, linestyle="--")
plt.title("一阶差分后的序列（通常更接近平稳）")
plt.tight_layout()
plt.show()
adf_test(data_diff_1, name="一阶差分后")

[一阶差分后] ADF Statistic: -22.3130
[一阶差分后] p-value : 0.000000
[一阶差分后] Critical : {'1%': -3.4435, '5%': -2.8674, '10%': -2.5699}

二、处理季节性：季节性差分

很多序列（销量、客流、气温）会在固定周期内重复波动，这就是季节性。

2.1 季节性差分（Seasonal Differencing）

思想与普通差分相同，只是'减去的不是上一期'，而是'减去上一个周期的同位置'。

Δ_s y_t = y_t - y_{t-s}

• 月度数据的年度季节：s = 12
• 季度数据的年度季节：s = 4

如果序列同时存在趋势 + 季节性，常见做法是：先做季节性差分（去周期），再对结果做一阶差分（去趋势）。

# 生成一段'趋势 + 季节性 + 噪声'的月度序列，并做季节性差分
np.random.seed(7)
# 4 年月度数据（48 个点），周期为 12
time_index = pd.date_range(start="2020-01-01", periods=48, freq="M")
seasonal = 10 * np.sin(np.arange(48) * (2 * np.pi / 12))  # 振幅 10，周期 12
trend = np.linspace(0, 20, 48)
noise = np.random.randn(48) * 2
seasonal_data = pd.Series(seasonal + trend + noise, index=time_index)
seasonal_diff_12 = seasonal_data.diff(periods=12).dropna()

fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 6), sharex=True)
axes[0].plot(seasonal_data)
axes[0].set_title("原始季节性序列（趋势 + 季节 + 噪声）")
axes[1].plot(seasonal_diff_12)
axes[1].axhline(0, color="gray", linewidth=1, linestyle="--")
axes[1].set_title("季节性差分后（s=12）")
plt.tight_layout()
plt.show()
adf_test(seasonal_data, name="原始季节性序列")
adf_test(seasonal_diff_12, name="季节性差分后（s=12）")

[原始季节性序列] ADF Statistic: 0.7819
[原始季节性序列] p-value : 0.991338
[原始季节性序列] Critical : {'1%': -3.6155, '5%': -2.9413, '10%': -2.6092}
[季节性差分后（s=12）] ADF Statistic: -5.5909
[季节性差分后（s=12）] p-value : 0.000001
[季节性差分后（s=12）] Critical : {'1%': -3.6327, '5%': -2.9485, '10%': -2.613}

三、模型选择：AR / MA / ARMA 与 ACF/PACF

现在假设我们已经拿到了平稳序列（原序列平稳，或通过差分变得平稳）。

3.1 ACF 与 PACF：分别在看什么？

• ACF（自相关）：y_t 与 y_{t-k} 的相关性（包含间接影响）。
• PACF（偏自相关）：控制了中间滞后项后，y_t 与 y_{t-k} 的'直接相关'。

3.2 '截尾'与'拖尾'（经验规律）

注意：这是非常常用的入门规律，但真实业务数据里常需要结合 AIC/BIC、残差白噪声检验等一起判断。

3.3 AR(p)：自回归（'惯性/记忆'）

AR(p) 的直观解释：当前值由过去 p 期的值线性决定（再加上随机扰动）。

y_t = φ_1 y_{t-1} + ... + φ_p y_{t-p} + ε_t

下面模拟一个 AR(2) 序列，并用 ACF/PACF 验证'PACF 在 2 阶后截尾'的现象。

# --- 案例一：AR(2) ---
print("--- 案例一：AR(2) 模型 ---")
# AR(2)：y_t = 0.7 y_{t-1} + 0.2 y_{t-2} + ε_t
ar_params = np.array([0.7, 0.2])
ma_params = np.array([])
# from_coeffs 的 AR 系数会按统计学常见写法自动处理符号
ar_process = ArmaProcess.from_coeffs(arcoefs=ar_params, macoefs=ma_params)

np.random.seed(100)
ar_data = ar_process.generate_sample(nsample=500)

fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(10, 9))
axes[0].plot(ar_data)
axes[0].set_title("模拟序列：AR(2)")
plot_acf(ar_data, ax=axes[1], lags=20, title="ACF（AR 通常拖尾）")
plot_pacf(ar_data, ax=axes[2], lags=20, title="PACF（AR(p) 通常在 p 阶截尾）")
plt.tight_layout()
plt.show()

# 使用 ARIMA(p,d,q) 形式拟合：AR(2) 等价于 ARIMA(2,0,0)
model_ar = ARIMA(ar_data, order=(2, 0, 0)).fit()
print(model_ar.summary())

SARIMAX Results ==============================================================================
Dep. Variable: y   No. Observations: 500
Model: ARIMA(2, 0, 0)   Log Likelihood -724.007
Date: Fri, 09 Jan 2026   AIC 1456.014
Time: 15:58:24   BIC 1472.873
Sample: 0   HQIC 1462.629
==============================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const -0.0971 0.578 -0.168 0.867 -1.231 1.036
ar.L1 0.6557 0.042 15.552 0.000 0.573 0.738
ar.L2 0.2646 0.043 6.096 0.000 0.180 0.350
sigma2 1.0562 0.066 16.075 0.000 0.927 1.185
==============================================================================================
Ljung-Box (L1) (Q): 0.04 Jarque-Bera (JB): 3.45 Prob(Q): 0.84 Prob(JB): 0.18
Heteroskedasticity (H): 0.96 Skew: 0.19 Prob(H) (two-sided): 0.79 Kurtosis: 3.15
==============================================================================================
Warnings: [1] Covariance matrix calculated using the outer product of gradients (complex-step).

3.4 MA(q)：移动平均（'短期冲击'）

MA(q) 的直观解释：当前值由当前与过去 q 期的**随机冲击（误差项）**叠加形成。

y_t = ε_t + θ_1 ε_{t-1} + ... + θ_q ε_{t-q}

它很适合描述'突发冲击会影响一小段时间然后消失'的现象，例如生产线短暂故障、突发促销、短期测量误差。

MA(q) 的典型经验规律：ACF 在 q 阶后截尾，而 PACF 往往拖尾。

# --- 案例二：MA(2) ---
print("--- 案例二：MA(2) 模型 ---")
# MA(2)：y_t = ε_t + 0.8 ε_{t-1} + 0.4 ε_{t-2}
ar_params = np.array([])
ma_params = np.array([0.8, 0.4])
ma_process = ArmaProcess.from_coeffs(arcoefs=ar_params, macoefs=ma_params)

np.random.seed(200)
ma_data = ma_process.generate_sample(nsample=500)

fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(10, 9))
axes[0].plot(ma_data)
axes[0].set_title("模拟序列：MA(2)")
plot_acf(ma_data, ax=axes[1], lags=20, title="ACF（MA(q) 通常在 q 阶截尾）")
plot_pacf(ma_data, ax=axes[2], lags=20, title="PACF（MA 通常拖尾）")
plt.tight_layout()
plt.show()

# MA(2) 等价于 ARIMA(0,0,2)
model_ma = ARIMA(ma_data, order=(0, 0, 2)).fit()
print(model_ma.summary())

SARIMAX Results ==============================================================================
Dep. Variable: y   No. Observations: 500
Model: ARIMA(0, 0, 2)   Log Likelihood -704.426
Date: Fri, 09 Jan 2026   AIC 1416.852
Time: 15:58:25   BIC 1433.710
Sample: 0   HQIC 1423.467
==============================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const 0.0582 0.100 0.584 0.559 -0.137 0.253
ma.L1 0.8252 0.041 19.978 0.000 0.744 0.906
ma.L2 0.4180 0.041 10.099 0.000 0.337 0.499
sigma2 0.9785 0.063 15.604 0.000 0.856 1.101
==============================================================================================
Ljung-Box (L1) (Q): 0.42 Jarque-Bera (JB): 0.01 Prob(Q): 0.51 Prob(JB): 0.99
Heteroskedasticity (H): 1.08 Skew: -0.01 Prob(H) (two-sided): 0.62 Kurtosis: 2.99
==============================================================================================
Warnings: [1] Covariance matrix calculated using the outer product of gradients (complex-step).

3.5 ARMA(p,q)：惯性 + 冲击的混合

真实世界经常同时存在：

• 惯性（AR）：例如销量受上个月销量影响；
• 短期冲击（MA）：例如某次活动/舆情导致短期偏离。

ARMA(p,q) 的经验特征：ACF 与 PACF 往往都会拖尾，因此仅凭图形精确定阶会更难。常见策略是从低阶（如 (1,1)）开始，结合 AIC/BIC 与残差诊断逐步选择。

# --- 案例三：ARMA(1,1) ---
print("--- 案例三：ARMA(1,1) 模型 ---")
# ARMA(1,1)：y_t = 0.8 y_{t-1} + ε_t + 0.5 ε_{t-1}
ar_params = np.array([0.8])
ma_params = np.array([0.5])
arma_process = ArmaProcess.from_coeffs(arcoefs=ar_params, macoefs=ma_params)

np.random.seed(300)
arma_data = arma_process.generate_sample(nsample=500)

fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(10, 9))
axes[0].plot(arma_data)
axes[0].set_title("模拟序列：ARMA(1,1)")
plot_acf(arma_data, ax=axes[1], lags=20, title="ACF（ARMA 常拖尾）")
plot_pacf(arma_data, ax=axes[2], lags=20, title="PACF（ARMA 常拖尾）")
plt.tight_layout()
plt.show()

# ARMA(1,1) 等价于 ARIMA(1,0,1)
model_arma = ARIMA(arma_data, order=(1, 0, 1)).fit()
print(model_arma.summary())

SARIMAX Results ==============================================================================
Dep. Variable: y   No. Observations: 500
Model: ARIMA(1, 0, 1)   Log Likelihood -709.905
Date: Fri, 09 Jan 2026   AIC 1427.810
Time: 15:58:25   BIC 1444.669
Sample: 0   HQIC 1434.426
==============================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const 0.4134 0.284 1.455 0.146 -0.144 0.970
ar.L1 0.7579 0.032 24.059 0.000 0.696 0.820
ma.L1 0.5038 0.043 11.664 0.000 0.419 0.588
sigma2 0.9982 0.062 16.094 0.000 0.877 1.120
==============================================================================================
Ljung-Box (L1) (Q): 0.49 Jarque-Bera (JB): 11.71 Prob(Q): 0.48 Prob(JB): 0.00
Heteroskedasticity (H): 0.82 Skew: 0.35 Prob(H) (two-sided): 0.20 Kurtosis: 3.26
==============================================================================================
Warnings: [1] Covariance matrix calculated using the outer product of gradients (complex-step).

总结

今日所学

• 趋势导致的非平稳：用 一阶/二阶差分（Series.diff()）。
• 季节性：用 季节性差分（Series.diff(periods=s)）。
• 定阶线索：在平稳序列上观察 ACF/PACF 的截尾与拖尾。

与 ARIMA 的关系

ARIMA(p, d, q) 三个参数含义：

• p：AR 阶数（常从 PACF 的截尾特征获取线索）
• d：差分次数（让序列更接近平稳）
• q：MA 阶数（常从 ACF 的截尾特征获取线索）