线性动态规划入门：四道经典例题实战解析 | 极客日志

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线性动态规划入门：四道经典例题实战解析

线性动态规划是算法基础中最常见的一类问题，状态转移依赖前序状态。通过台阶问题、最大子段和、传球游戏及乌龟棋四道经典例题，详解状态定义、转移方程推导及初始化技巧。涵盖一维与多维 DP 实现，包含 C++ 代码示例与边界处理细节，帮助读者掌握线性 DP 核心思路与实战应用。

remedios发布于 2026/3/29更新于 2026/4/253 浏览

线性动态规划入门：四道经典例题实战解析

线性 DP 概述

线性动态规划是算法基础中最常见的一类问题。其核心特点是状态转移只依赖于前一个或前几个状态，状态之间的关系呈线性，通常可用一维或二维数组存储。我们在入门阶段解决的《下楼梯》以及《数字三角形》其实都属于线性 DP，分别对应一维和二维的情况。

下面通过四道经典题目，从状态定义、转移方程到代码实现，系统梳理线性 DP 的解题思路。

台阶问题

题目描述

台阶问题示意图

解题思路

本题可以看作是《下楼梯》问题的加强版。我们按照动态规划的常规步骤来分析：

状态表示 dp[i] 表示走到第 i 个台阶的所有方案数。
状态转移方程 第 i 个台阶的方案数等于从 i-1 阶到 i-k 阶的所有方案数之和。由于数据量较大，结果需要对 100003 取模。注意边界检查，当 i-j < 0 时需停止循环，避免负下标访问。
```
dp[i] = (dp[i] + dp[i - j]) % 100003; // j 从 1 到 k
```
初始化 直接令 dp[0] = 1 即可。这相当于站在起点（第 0 阶）有一种方案（不动），后续计算会自动累加。
填表顺序 从左往右依次计算。
输出结果 dp[n] 即为最终答案。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10, MOD = 1e5 + 3;

int n, k;
LL dp[N];

int main() {
    cin >> n >> k;
    
    // 初始化：站在第 0 阶算作一种方案
    dp[0] = ;
    
    
     ( i = ; i <= n; i++) {
         ( j = ; j <= k; j++) {
             (i - j < ) ; 
            dp[i] = (dp[i] + dp[i - j]) % MOD;
        }
    }
    
    cout << dp[n] << endl;
     ;
}

状态表示 f[i] 表示以第 i 个位置为结尾的所有子数组中，最大的和是多少。
状态转移方程 对于第 i 个元素，有两种选择：
- 单独作为一个新的子段：f[i] = a[i]
- 接在前面的子段后面：f[i] = f[i - 1] + a[i]
取两者中的较大值：
```
f[i] = max(a[i], f[i - 1] + a[i]);
```
初始化 将 f[0] 初始化为 0，这样第一个元素 f[1] 的计算逻辑就能自然统一。
输出结果 遍历 f 数组，取最大值即为答案。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;
int n;
int a[N], f[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    
    f[0] = 0;
    int ret = -0x3f3f3f3f;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        f[i] = max(a[i], a[i] + f[i - 1]);
        ret = max(ret, f[i]);
    }
    
    cout << ret << endl;
    return 0;
}

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 40;
int n, m;
int dp[N][N]; // dp[次数][同学编号]

int main() {
    cin >> n >> m;
    
    // 初始化：0 次传递时在 1 号同学手里
    dp[0][1] = 1;
    
    // 枚举传递次数
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        // 1 号同学
        dp[i][1] = dp[i - 1][2] + dp[i - 1][n];
        
        // 中间同学
        for (int j = 2; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j + 1];
        }
        
        // n 号同学
        dp[i][n] = dp[i - 1][1] + dp[i - 1][n - 1];
    }
    
    cout << dp[m][1] << endl;
    return 0;
}

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 360;
const int M = 50;

int n, m;
int a[N], cnt[5]; // 棋盘分数，卡片数量
int dp[M][M][M][M]; // 四维 DP

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    while (m--) {
        int x;
        cin >> x;
        cnt[x]++;
    }
    
    // 初始化起点分数
    dp[0][0][0][0] = a[1];
    
    // 枚举四种卡片的数量
    for (int i = 0; i <= cnt[1]; i++) {
        for (int j = 0; j <= cnt[2]; j++) {
            for (int k = 0; k <= cnt[3]; k++) {
                for (int z = 0; z <= cnt[4]; z++) {
                    // 计算当前位置
                    int pos = 1 + i * 1 + j * 2 + k * 3 + z * 4;
                    int &t = dp[i][j][k][z];
                    
                    // 尝试从四个方向转移
                    if (i > 0) t = max(t, dp[i - 1][j][k][z] + a[pos]);
                    if (j > 0) t = max(t, dp[i][j - 1][k][z] + a[pos]);
                    if (k > 0) t = max(t, dp[i][j][k - 1][z] + a[pos]);
                    if (z > 0) t = max(t, dp[i][j][k][z - 1] + a[pos]);
                }
            }
        }
    }
    
    cout << dp[cnt[1]][cnt[2]][cnt[3]][cnt[4]] << endl;
    return 0;
}