动态规划之完全背包问题详解

引言

完全背包隶属于动态规划中的背包问题。01 背包是完全背包的基石，建议先了解 01 背包。

什么是完全背包？

**01 背包问题：**有一个背包承重为 V，有 N 个物品，每个物品的价值 (value) 为 v，重量为 (weight) 为 w，每个物品只能取 1 次，求问背包最多能装下多大价值的物品。

**完全背包问题：**有一个背包承重为 V，有 N 个物品，每个物品的价值 (value) 为 v，重量为 (weight) 为 w，每个物品无限次存取，求问背包最多能装下多大价值的物品。

区别在于物品是否可以无限次存取。

举例

如题：一个能称重为 4 的背包，共有 3 件可装物品。对应价值与重量如下图所示，求最多能装下多大价值的物品。

1. 状态定义

dp[i][j] 表示，物品 [0~i] 每个物品，每个物品能取无数次，放入到容量为 j 的背包内，价值总和最大为多少。

2. 递推公式

拿 dp[1][4] 举例，物品 1，价值 value(20)，重量 weight(3)。 有两种情况：

• 不选择物品本身：直接继承物品 0，即 dp[0][4] = 60；
• 选择该物品：dp[1][4-weight] + value = dp[1][1] + 20 也就是 35；

从两种选择中选取最大值。

递推公式：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight] + value);

3. 二维 DP 代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main(){
    int bagweight = 6;
    vector<int> weight = {1, 3, 4, 5, 6};
    vector<int> value = {1, 3, 4, 5, 6};
    
    // dp[i][j] 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
    
    
    ( i = ; i <= bagweight; ++i){
        (i < weight[]) {
            dp[][i] = ;
        }  {
            dp[][i] = dp[][i - weight[]] + value[];
        }
    }
    
    
    ( i = ; i < weight.(); ++i){
        
        ( j = ; j <= bagweight; ++j){
            (j < weight[i]) {
                dp[i][j] = dp[i - ][j];
            }  {
                dp[i][j] = (dp[i - ][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
    }
     ;
}