堆排序
堆排序是一种时间复杂度为 O(N log N) 的常见排序方法。学习堆排序前，先讲解数据结构中的二叉堆。
二叉堆的定义
二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。
二叉堆满足两个特性：
- 父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。
- 每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。
当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：
由于其它几种堆（二项式堆、斐波纳契堆等）用得较少，一般将二叉堆就简称为堆。
堆的存储
一般都用数组来表示堆，i 结点的父结点下标就为 (i - 1) / 2。它的左右子结点下标分别为 2 * i + 1 和 2 * i + 2。如第 0 个结点左右子结点下标分别为 1 和 2。
堆的操作——插入删除
下面先给出《数据结构 C++ 语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。
堆的插入
每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，对照不难写出插入一个新数据时堆的调整代码：
// 新加入 i 结点 其父结点为 (i - 1) / 2
void MinHeapFixup(int a[], int i)
{
int j, temp;
temp = a[i];
j = (i - 1) / 2; // 父结点
while (j >= 0 && i != 0)
{
if (a[j] <= temp)
break;
a[i] = a[j]; // 把较大的子结点往下移动，替换它的子结点
i = j;
j = (i - 1) / 2;
}
a[i] = temp;
}
更简短的表达为：
void MinHeapFixup(int a[], int i)
{
for (int j = (i - 1) / 2; (j >= 0 && i != 0) && a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)
Swap(a[i], a[j]);
}
插入时：
// 在最小堆中加入新的数据 nNum
void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)
{
a[n] = nNum;
MinHeapFixup(a, n);
}
堆的删除
按定义，堆中每次都只能删除第 0 个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的'下沉'过程。下面给出代码：
// 从 i 节点开始调整，n 为节点总数 从 0 开始计算 i 节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2
void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)
{
int j, temp;
temp = a[i];
j = 2 * i + 1;
while (j < n)
{
if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) // 在左右孩子中找最小的
j++;
if (a[j] >= temp)
break;
a[i] = a[j]; // 把较小的子结点往上移动，替换它的父结点
i = j;
j = 2 * i + 1;
}
a[i] = temp;
}
// 在最小堆中删除数
void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)
{
Swap(a[0], a[n - 1]);
MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);
}
堆化数组
有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：
很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即 20，60，65，4，49 都分别是一个合法的堆。只要从 A[4]=50 开始向下调整就可以了。然后再取 A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9 分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：
写出堆化数组的代码：
// 建立最小堆
void MakeMinHeap(int a[], int n)
{
for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
MinHeapFixdown(a, i, n);
}
至此，堆的操作就全部完成了 (注 1)，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。
堆排序
首先可以看到堆建好之后堆中第 0 个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第 0 个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。
由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将 A[0] 与 A[n - 1] 交换，再对 A[0…n-2] 重新恢复堆。第二次将 A[0] 与 A[n – 2] 交换，再对 A[0…n - 3] 重新恢复堆，重复这样的操作直到 A[0] 与 A[1] 交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。
void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)
{
for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
{
Swap(a[i], a[0]);
MinHeapFixdown(a, 0, i);
}
}
注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。
由于每次重新恢复堆的时间复杂度为 O(log N)，共 N - 1 次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时 N / 2 次向下调整，每次调整时间复杂度也为 O(log N)。二次操作时间相加还是 O(N log N)。故堆排序的时间复杂度为 O(N log N)。STL 也实现了堆的相关函数，可查阅相关文档。
注 1 作为一个数据结构，最好用类将其数据和方法封装起来，这样既便于操作，也便于理解。此外，除了堆排序要使用堆，另外还有很多场合可以使用堆来方便和高效的处理数据，以后会一一介绍。
