堆排序原理与 C++ 实现

堆排序

堆排序是一种时间复杂度为 O(N log N) 的常见排序方法。学习堆排序前，先讲解数据结构中的二叉堆。

二叉堆的定义

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足两个特性：

1. 父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。
2. 每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：

由于其它几种堆（二项式堆、斐波纳契堆等）用得较少，一般将二叉堆就简称为堆。

堆的存储

一般都用数组来表示堆，i 结点的父结点下标就为 (i - 1) / 2。它的左右子结点下标分别为 2 * i + 1 和 2 * i + 2。如第 0 个结点左右子结点下标分别为 1 和 2。

堆的操作——插入删除

下面先给出《数据结构 C++ 语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。

堆的插入

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，对照不难写出插入一个新数据时堆的调整代码：

// 新加入 i 结点 其父结点为 (i - 1) / 2
void MinHeapFixup(int a[], int i)
{
    int j, temp;

    temp = a[i];
    j = (i - 1) / 2;     // 父结点
    while (j >= 0 && i != 0)
    {
        if (a[j] <= temp)
            break;

        a[i] = a[j];     // 把较大的子结点往下移动，替换它的子结点
        i = j;
        j = (i - ) / ;
    }
    a[i] = temp;
}