格拉姆角场（Gramian Angular Field, GAF）详解
格拉姆角场（Gramian Angular Field, GAF）是一种于 2015 年被提出的时间序列可视化与特征编码技术。其核心思想是将一维时间序列转换为二维图像，并在此过程中保留原始序列的时间依赖关系与数值特征。目前，GAF 已在故障诊断、生物电信号分析、射频信号识别等多个领域得到广泛应用。
GAF 的实质是借助极坐标变换与格拉姆矩阵的结构，将一维序列中的'时间–数值'映射为图像中的像素关联信息。生成的图像矩阵的行列索引直接对应时间顺序，使其能够兼容主流图像识别模型（如 CNN），从而挖掘出时间序列中的深层特征。
一、GAF 的核心设计逻辑
传统的一维时间序列包含两类基本信息：数值大小（如振幅）和时间顺序（如信号随时间的变化趋势）。折线图等常规方法虽能展示趋势，却难以显式表达不同时刻之间的数值关联。GAF 通过以下三步逻辑实现信息的结构化编码：
- 数值归一化：将原始序列缩放至 [-1, 1] 区间，消除量纲与异常值影响，为极坐标变换提供基础；
- 极坐标转换：将时间索引映射为半径，数值大小映射为角度，建立时间与数值在极坐标系统中的对应关系；
- 格拉姆矩阵构建：基于极坐标角度，通过三角运算（如余弦和/差）构造 Gram 矩阵，将数值之间的时序关系转化为图像像素值。
二、GAF 的实现步骤（标准流程）
以任意 1 维时间序列 $X = [x_1, x_2, ..., x_N]$（N 为序列长度）为例。
步骤 1：数据归一化（Normalization）
将原始序列归一化至区间 [-1, 1]：
$$\tilde{x}_i = \frac{2(x_i - min(X))}{max(X) - min(X)} - 1$$
其中：
- $min(X)$、$max(X)$ 分别为原始序列的最小值和最大值；
- $\tilde{x}_i \in [-1, 1]$，归一化后不仅消除了量纲影响，还确保后续角度计算时 $arccos(\tilde{x}_i)$ 有实数解。
步骤 2：极坐标编码（Polar Coordinate Encoding）
将归一化后的序列 $\tilde{X} = [\tilde{x}_1, \tilde{x}_2, ..., \tilde{x}_N]$ 映射到极坐标系：
- 半径（表示时间索引）： $$r_i = \frac{i}{N}, \quad i=1,2,3...,N$$ 时间越晚，半径越大，靠近单位圆边缘。
- 角度（表示数值大小）： $$\theta_i = arccos(\tilde{x}_i), \quad \theta_i \in [0, \pi]$$ 每个角度对应归一化后的数值大小，负值对应大角度，正值对应小角度。
步骤 3：格拉姆矩阵构建（Gramian Matrix Construction）
有了极坐标下的 $(r_i, \theta_i)$，我们可以通过三角函数将时序关系编码进矩阵中。常用的有两种方式：
- 格拉姆角和场（GASF）：利用余弦的和角公式，计算 $cos(\theta_i + \theta_j)$。
- 格拉姆角差场（GADF）：利用余弦的差角公式，计算 $sin(\theta_i - \theta_j)$。
这两种方式生成的矩阵都是对称或反对称的，且保留了时间序列的自相关性。最终得到的矩阵可以视为一张灰度图，深色区域代表强相关，浅色区域代表弱相关。
三、Python 实战示例
理论讲完，我们直接看代码实现。这里用 NumPy 和 Matplotlib 快速生成一个 GAF 图像。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.preprocessing MinMaxScaler
():
scaler = MinMaxScaler(feature_range=(-, ))
ts_norm = scaler.fit_transform(ts.reshape(-, )).flatten()
theta = np.arccos(ts_norm)
n = (theta)
r = np.linspace(, , n)
method == :
gf_matrix = np.cos(np.outer(theta, np.ones(n)) + np.outer(np.ones(n), theta))
:
gf_matrix = np.sin(np.outer(theta, np.ones(n)) - np.outer(np.ones(n), theta))
gf_matrix
time = np.linspace(, *np.pi, )
signal = np.sin(time)
image = gramian_field(signal, method=)
plt.imshow(image, cmap=, aspect=)
plt.title()
plt.colorbar()
plt.show()
