机器人技术中的李群与李代数基础

前言

在机器人技术的学习过程中，我们经常会听到'旋量'、'四元数'、'李群'、'李代数'等一些词汇。这些词汇是为了解决实际工程问题而发展出来的。学会使用它们需要一定的耐心和数学功底。尽管当今这些工具的库已经很成熟，但直接调用而不了解内部机制不利于形成知识体系。本文将从图解和公式两方面理解李群、李代数的知识。

一、问题提出

1.1 位姿的表述

所谓的机器人，可以理解为一堆连杆，或者叫一堆刚体（柔性机械臂一般简化为连续的欠驱动的多刚体机械臂）。机器人技术，便是对刚体的研究技术，这些技术都是成熟的。对于刚体间的关系，其普遍描述于欧氏空间中。欧氏空间，或者叫平直空间，全称是欧几里德空间（Euclidean Space），顾名思义就是欧几里得建立的以角和空间线的关系为法则的空间。其对于空间内固定的点集主要表现出两个特性：其一是平移特性，所有点向相同方向移动相同的距离；其二是旋转特性，所有点关于同一个旋转轴旋转相同角度。

在大量的文献资料上，不难发现机器人等效为一系列关联的坐标系。由于其描述在欧氏空间，坐标系采用的是笛卡尔坐标系，坐标系之间的关系分为旋转和平移两种，如图 1 所示。工程上一般将机器人描述的欧氏空间定义为 x-y-z 的 3 维欧氏空间，空间内的点表示为 3×1 的列向量，每一行分别对应 x、y、z 轴上的值。平移和旋转运算在矩阵乘法中为左乘运算。在运算上，空间内的平移可以用一个 3×1 的平移矢量表示，其平移运算后空间点仍旧还是空间点；空间内的旋转可以用 1 个 9×9 的旋转矩阵表示，其旋转运算后仍旧还是空间点。

从数学公式上看：

1）平移变化可以表示为

，

，

2）旋转变化可以表示为

，

，

其中，平移变化可以用 3 个参数表示，而旋转参数需要用 9 个参数表示。显然，对于 3 维度的空间描述过于冗余了。

因此，根据旋转矩阵的 9 个参数，其中大部分耦合。为了简化旋转模型，减少未知变量，产生了欧拉角描述法、旋量描述法、四元数描述法等描述法。