对比了机器人运动学中的标准 DH（SDH）与改进 DH（MDH）参数。主要区别在于连杆坐标系建立位置（近端 vs 远端）及变换矩阵乘法顺序。SDH 适用于开链结构，而 MDH 可避免树形或闭链机构的坐标系歧义，推荐使用。文末提供了基于改进 DH 计算几何雅可比矩阵的 MATLAB 代码示例。
在机器人运动学中，明确区分标准 DH（SDH）和改进 DH（MDH）参数至关重要。初学者常因混淆两者导致公式推导与代码实现不一致。本文重点解析两者的定义、区别及适用场景。
建立连杆坐标系：
使用改进 D-H 参数，将坐标系 $i$ 建立在连杆 $i$ 的前端关节（近端）：
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一个连杆有两端，一端离基座近，一端离基座远。简单来说，标准 DH 将坐标系 $i$ 建立在连杆 $i$ 离基座近的一端，改进 DH 建立在离基座远的一端。
先标号，再建系。
为便于理解，这里我把连杆的近端用绿色表示，远端用橙色表示，且远端驱动近端转动。大家只要记住一句话，连杆近端关节的标号和连杆标号是一致的。
区别一：连杆坐标系建立的位置不同。 SDH 方法将连杆 $i$ 的坐标系固定在连杆的远端，MDH 方法把连杆 $i$ 的坐标系固定在连杆的近端。
(a) SDH (b) MDH
区别二：执行变换的顺序不同。 按照 SDH 方法变换时四个参数相乘的顺序依次为 $d \to \theta \to a \to \alpha$，而 MDH 方法则按照 $\alpha \to a \to \theta \to d$（正好与 SDH 相反）。
对于树形结构或者闭链机构的机器人来说，按照 SDH 方法建立的连杆坐标系会产生歧义，因为 SDH 的建系原则是把连杆 $i$ 的坐标系建立在连杆的远端，如图 3(a) 所示，这就导致连杆 0 上同时出现了两个坐标系。而 MDH 把连杆坐标系建立在每个连杆的近端，则不会发生坐标系重合的情况，如图 3(b) 所示，这就克服了 SDH 方法建系的缺点。
(a) SDH (b) MDH
在一些教材中，显然使用的是 DH 参数法。因此在后面推导几何雅可比矩阵的时候，提到 $z_{i-1}$ 和 $p_{i-1}$ 分别由 $R^0_{i-1}$ 与 $T^0_{i-1}$ 得到：
但是如果你用的是改进 DH 参数法进行建模，核心公式应该是：
原因是原本的标准 DH 的坐标系 $i-1$ 对应的 $z$ 轴 $z_{i-1}$ 就是改进的 DH 的坐标系 $i$ 的 $z$ 轴 $z_i$。
下面是基于改进 DH 计算几何雅可比的 MATLAB 代码示例：
function J_geo = geometric_jacobian_from_q_corrected(q)
% 根据关节角度计算几何雅可比矩阵，匹配 MATLAB 工具箱的顺序
% 输入：q - 7×1 关节角向量 (弧度)
% 输出：J_geo - 6×7 几何雅可比矩阵
% Franka Panda 的 DH 参数 (Modified DH)
% 格式：[alpha, a, d, theta]
MDH = [0, 0, 0.333, q(1); -pi/2, 0, 0, q(2); pi/2, 0, 0.316, q(3);
pi/2, 0.0825, 0, q(4); -pi/2, -0.0825, 0.384, q(5);
pi/2, 0, 0, q(6); pi/2, 0.088, 0.107, q(7)];
% 计算每个关节的变换矩阵和位置
n = 7;
T = eye(4);
T_all = cell(n, 1);
p_all = zeros(3, n);
z_all = zeros(3, n);
for i = 1:n
alpha = MDH(i, 1);
a = MDH(i, 2);
d = MDH(i, 3);
theta = MDH(i, 4);
% 改进 DH 变换矩阵 Ti
Ti = [cos(theta), -sin(theta), 0, a;
sin(theta)*cos(alpha), cos(theta)*cos(alpha), -sin(alpha), -d*sin(alpha);
sin(theta)*sin(alpha), cos(theta)*sin(alpha), cos(alpha), d*cos(alpha);
0, 0, 0, 1];
T = T * Ti;
T_all{i} = T;
p_all(:, i) = T(1:3, 4);
z_all(:, i) = T(1:3, 3);
end
% 末端执行器位置
p_ee = p_all(:, end);
% 计算几何雅可比 - 修正关节编号对应关系
J_geo = zeros(6, n);
for i = 1:n
if i == 1
% 关节 1：使用基坐标系
p_i = [0; 0; 0];
z_i = [0; 0; 1];
else
% 关节 i：使用连杆 i-1 的坐标系
p_i = p_all(:, i);
z_i = z_all(:, i);
end
% MATLAB 顺序：线速度在前，角速度在后
J_geo(4:6, i) = z_i;
J_geo(1:3, i) = cross(z_i, p_ee - p_i);
end
end
function T = forward_kinematics_mdh(q)
% 改进 DH 正运动学
MDH = [0, 0, 0.333, q(1); -pi/2, 0, 0, q(2); pi/2, 0, 0.316, q(3);
pi/2, 0.0825, 0, q(4); -pi/2, -0.0825, 0.384, q(5);
pi/2, 0, 0, q(6); pi/2, 0.088, 0.107, q(7)];
T = eye(4);
for i = 1:7
alpha = MDH(i, 1);
a = MDH(i, 2);
d = MDH(i, 3);
theta = MDH(i, 4);
Ti = [cos(theta), -sin(theta), 0, a;
sin(theta)*cos(alpha), cos(theta)*cos(alpha), -sin(alpha), -d*sin(alpha);
sin(theta)*sin(alpha), cos(theta)*sin(alpha), cos(alpha), d*cos(alpha);
0, 0, 0, 1];
T = T * Ti;
end
end