机器人动力学分析
机器人分析分为牛顿欧拉法、拉格朗日法、高斯法、凯恩方法。
MATLAB 提供的逆动力学采用的是牛顿欧拉法：RNE——Recursive Newton-Euler。
需要三个参数，第一个是给定最终的角度，第二个是速度，第三个是角加速度，返回各个关节所需要的力矩。 可选参数有重力加速度和负载 fext。
牛顿欧拉法
我们的目标是给定机器人的关节位置 q、速度 qd 和加速度 qdd，计算出为了产生这个运动状态，每个关节需要施加多大的驱动力矩。
初学者容易混淆的是，我们之前用力域雅可比解决过每个关节应该分配多大力矩的问题。
'力域雅可比'解决的是一个不同的问题，属于静力学或外力映射范畴，它的目的是将作用在机器人末端执行器上的外力/力矩。
映射到对应的关节空间力矩。
区别就是一个是给定运动状态，计算每个关节为了达到这个运动状态需要多大力； 另一个则是给定末端的力，计算这个力分配在各个关节上是多大。
牛顿欧拉法的精髓在于正推和逆推，我们来看这个过程：
- 正向递推（Forward Recursion）：从基座到末端，计算每个连杆的速度、加速度。
- 反向递推（Backward Recursion）：从末端到基座，计算每个关节需要提供的力和力矩。
动力学的目的就是计算在某个运动状态下，各个关节应该施加多大的力，因此核心是构建一个**'运动状态 - 力学参数'**的方程，牛顿和欧拉两位大佬就提供了。 我们的核心就变成了如何得到各个关节的'真实速度'。 我们已知各个关节的关节空间的速度、角速度、加速度，如何将前一个坐标系的运动参数传递给下一个坐标系计算呢？ 这就用到了正推，构建线速度、线加速度、角速度、角加速度以及质心和端点的速度关系。 这里面最难理解的就是对 Zi 轴的求导，我们把求导拆成先微分再对时间求导，并用红蓝绿坐标系表示了这个过程。 最终得到了运动参数的递推公式。
我们又知道，力的传播是从末端向基座的，因此力的计算就是逆推的过程。 我们先对连杆的相互作用点进行了受力分析，并构建了端点到质心的变换公式，得以计算质心处的合力矩情况。 此时的合力矩指的是 xyz 三方向的合力矩，但是关节电机只能控制绕 z 轴旋转的力矩，因此我们将合力矩中的 Z 方向力矩提取出来，直接用 Z 的方向向量点积即可。 由此，我们就能通过得知各个关节的关节速度、加速度，从而推导出各个关节需要多大的力矩了！
那么构建运动状态和力的关系的等式就显而易见了：
牛顿方程：
用于解决刚体平移的动力学刻画，沟通力与线加速度的关系。
欧拉方程：
用于解决刚体旋转的动力学刻画，沟通力矩与角速度、角加速度的关系。
其中，
是刚体在{C}中的惯性张量。惯性张量矩阵求法可以参考相关资料。
那么要得到连杆质心的力和力矩，就必须要求线加速度、角速度、角加速度了。
由于串联机械臂具有强耦合关系，因此相邻关节之间存在一定递推关系。假设你在旋转肩膀的同时转动胳膊，定义肩膀的角速度ω1，胳膊的角速度ω2，此时，你胳膊的实际角速度并非ω2，而是一个与肩膀角速度相关的函数，意味着当前连杆的运动状态依赖于前一个连杆的运动参数。递推法就是计算当前连杆真实运动状态的方法。
正推
首先对连杆 1 进行计算，然后利用递推式，就能得知连杆 2 的运动状态直至关节 n。
我们只关心相邻连杆的运动状态关系：
旋转运动参数
角速度
对于角速度：
这个式子很好理解，地球自转的同时也绕着太阳公转，因此真实的角速度是公转速度 + 自转速度。在这里，wi 指前一个关节的角速度，即绕太阳的公转速度，第二项是地球绕地轴 Zi+1 的自转速度。
角加速度
对于角加速度：
角加速度无非是对角速度求时间的微分。 第一项求导很正常。 第二项求导要注意，是乘积求导法则。对于速度
求导没问题，重点在于如何对
求导。
为了简化计算，我们不妨设
和
互相垂直，那么根据下图，此时的
表示
离原来偏移了多少，就可以用
与
叉积表示了！
前 X
的结果就是最大的红色箭头。假设经过 dt 后
从（前）变到（后），此时
正好与叉积结果平行！
叉积就是乘以 sin，于是有：
对于 dt 求导
这就是第三项的来源！
接着，由于我们是根据 i 系的运动状态计算 i+1 系的运动参数，因此要把所有参数转入{i+1}系中： 同时利用旋转矩阵（{i}系与{i+1}系的旋转矩阵）将所有参数的上下标统一：
平移运动参数
线速度
线速度不仅会由前一个连杆传递（即便前一个连杆不存在平移，也可能继承了前前个平移关节的线速度）； 如果前一个连杆是旋转关节，由于存在连杆长度 R，必然会产生由旋转而产生的线速度
也就是 角速度X半径：
这个
是指{i}系原点指向{i+1}系原点的向量，也就是连杆长度。
线加速度
同理，求加速度就是对速度求时间的微分。 第一项求导很正常。 第二项求导要注意，是乘积求导法则。
是显然的线速度就是 角速度X半径 嘛
把
替换进求导的式子，得到上式。
接着，先将各参数转入{i}参考系，再用{i}系与{i+1}系的旋转矩阵
将运动参数转入{i+1}系中。
从质心到关节的变换
上面我们刻画了质心的运动参数递推关系，但是在实际控制中，我们肯定控制的是关节，因此还需要将质心处的参数变换到关节上：
线速度
规定关节坐标系原点指向质心的向量为
，那么这显然是一个类似'平移'的操作，因此套用线速度的递推公式：
线加速度
同理求导，下式关系显然满足（旋转引起的线速度=角速度 X 半径）。
因此求导可得：
同理，将其转入{i+1}系：
这就是书上这几个不给推导/引用链比你还长的式子的简要理解：
注：
书上的推导是严谨的，但是深邃难懂。此外，从三系变换到 i、i+1 系变换过于突兀，极其不易理解。 因此给出这个浅显易懂的推导。
汇总
总而言之，我们已经掌握了线速度、线角速度、角速度、角加速度的递推公式：
同时，牛顿和欧拉两位大佬也给我们提供了力和力矩的递推公式：
至此，我们就完成了正推公式的推导和理解，我们已经能借助前一个连杆的运动参数计算当前连杆的运动参数了。
知道运动参数后，我们就可以通过从第 n 连杆往回推各关节需要的力矩了。
反推
反推就是通过力、力矩和运动参数构成的方程，输入运动参数，获得各关节的力矩。
我们采用改进 DH 参数建模，在改进 DH 建模方式中，最大的区别就是第 i 连杆在第 i 关节的后面。
每一个关节都独立产生控制力矩，我们对第 i 连杆受力分析： 杆 i 会受到杆 (i-1) 的作用力
，也会受到杆 (i-1) 的反作用力
。
因此列出牛二：
其中 F 是该连杆质心处的合力，
、
是作用在两侧关节的力。
统一到{i}坐标系中：
接下来，我们对连杆{i}受力分析：
假设连杆{i}存在前后两段连杆{i-1}{i+1}： 我们的目的是分析连杆{i}质心处的受力情况
看这张抽象图： 假设所有关节的 z 旋转轴平行，且垂直纸面向外，这意味逆时针旋转为正向。 首先，**关节{i-1}逆时针旋转，因此会给杆{i}**一个向左上的力
。 **关节{i}也逆时针旋转，因此会给杆{i}**一个向右上的力
，自身会受到**杆{i+1}**的反作用力
。 **杆{i-1}对杆{i}**施加 fi 的力，力臂为 r1，那么根据右手法则，四指由 f 指向 r，得到力矩 N 的方向朝下（纸内）； **杆{i}对杆{i+1}施加 f1+1 的力，力臂为 ri+1，那么杆{i+1}**同样会施加给它一个反作用力-fi+1，于是四指由 f 指向 r，得到力矩 N 的方向朝上（纸外）；
我们的目标是要计算质心处和合力矩。目前已经得到两端相邻连杆对杆{i}的作用力矩了，还要将其转换到质心处：
假设质心 Ci 向杆{i}坐标系原点的向量是
，那么质心 Ci 向杆{i+1}坐标系原点的向量就是
。 对于作用于两端的力矩就可以通过这个公式合成到质心处：得到
就是质心处的合力矩。
那么关节 i 应该施加的力可以通过移项得到
，观察公式，显然是和
相关的，因此，要计算前一个关节的力矩，就必须得知后一个关节的力矩。
这就是为什么计算力矩的过程叫做'逆推'！
而至于为什么要引入质心，就是为了构建上面的等式，构建前后关节的力矩关系，从而递推，他就是个中间变量。
我们继续，
实际上，
并不是最终的关节力矩，而是中间计算过程中的一个变量——惯性力矩。
那它和真正的'关节力矩'是什么关系呢？
惯性力矩考虑了当前杆件和相邻杆件的惯性力矩、外力和重力的影响。 但是，我们的关节只能产生绕 z 轴旋转的力，至于重力或负载给的压力，它根本无法影响，换句话说，重力、压力、等非绕 z 轴的力无法被关节控制。
因此我们还需要提取与绕 Z 轴相关的力矩，这很简单，直接用 Z 轴的方向向量点积即可提取出这个方向上作用的力：
如图，
是一个考虑了 xyz 三个方向和合力矩，但我们只想要 z 轴方向的力矩，因此乘以了
。
至此为止，你就完全掌握了正逆推的过程！！！
我们快速总结一下：
动力学的目的就是计算在某个运动状态下，各个关节应该施加多大的力，因此核心是构建一个'运动状态 - 力学参数'的方程，牛顿和欧拉两位大佬就提供了。 我们的核心就变成了如何得到各个关节的'真实速度'。 我们已知各个关节的关节空间的速度、角速度、加速度，如何将前一个坐标系的运动参数传递给下一个坐标系计算呢？ 这就用到了正推，构建线速度、线加速度、角速度、角加速度以及质心和端点的速度关系。 这里面最难理解的就是对 Zi 轴的求导，我们把求导拆成先微分再对时间求导，并用红蓝绿坐标系表示了这个过程。 最终得到了运动参数的递推公式。 我们又知道，力的传播是从末端向基座的，因此力的计算就是逆推的过程。 我们先对连杆的相互作用点进行了受力分析，并构建了端点到质心的变换公式，得以计算质心处的合力矩情况。 此时的合力矩指的是 xyz 三方向的合力矩，但是关节电机只能控制绕 z 轴旋转的力矩，因此我们将合力矩中的 Z 方向力矩提取出来，直接用 Z 的方向向量点积即可。 由此，我们就能通过得知各个关节的关节速度、加速度，从而推导出各个关节需要多大的力矩了！
静力学分析
特别地，当机械臂的速度加速度均为零时，也就是静止时，上面的式子可以得到简化： 下式就刻画了静止时各关节力和力矩的计算方式，它可以分析静态下机械臂的负载能力。
这就是 MATLAB 机器人工具箱的 rne 的实现逻辑。
为什么选择牛顿欧拉法？
时间复杂度最低——仅 O(n)
相对而言，拉格朗日法接近 O(n^3)
| 方法 | 原理 | 计算效率 |
|---|---|---|
| 牛顿 - 欧拉法 | 牛顿第二定律 + 欧拉方程 | ⭐⭐⭐⭐⭐ O(n) |
| 拉格朗日法 | 能量法 | ⭐⭐ O(n³) |
| 高斯法 | 最小约束原理 | ⭐⭐ |
| 凯恩法 | 广义达朗贝尔原理 | ⭐⭐⭐ |
当然 RNE 也有缺点：
- 推导过程繁琐，依赖递归顺序。
- 不易直接得到显式动力学模型。
