机器人动力学基础：牛顿 - 欧拉法推导详解

接着，将所有参数转入 {i+1} 系中，利用旋转矩阵统一上下标：

平移运动参数

线速度

线速度不仅继承前一个连杆的运动，若前一个关节为旋转关节，还会因连杆长度产生由旋转引起的线速度（角速度 X 半径）。

其中 $P^*_{i+1}$ 是指 {i} 系原点指向 {i+1} 系原点的向量。

线加速度

同理，对速度求导可得加速度。注意乘积求导法则的应用，替换 $\dot P^*_{i+1}$ 后整理公式，并转入 {i+1} 系：

从质心到关节的变换

实际控制中需关注关节处的参数，因此要将质心处的参数变换到关节上。

规定关节坐标系原点指向质心的向量为 $P^*{C{i+1}}$，套用线速度递推公式：

求导后可得线加速度关系，并转入 {i+1} 系：

至此，我们掌握了线速度、角速度、角加速度及线加速度的递推公式，完成了正推过程。

反向递推

反推是通过力、力矩和运动参数构成的方程，输入运动参数，获得各关节的力矩。

在改进 DH 参数建模中，第 i 连杆位于第 i 关节之后。每个关节独立产生控制力矩，我们对第 i 连杆进行受力分析：杆 i 会受到杆 (i-1) 的作用力 $f_i$ 以及杆 (i-1) 的反作用力 $f_{i-1}$。

列出牛顿第二定律：

统一到 {i} 坐标系中后，继续分析连杆 {i} 质心处的受力情况。假设所有关节 z 轴平行且垂直纸面向外，逆时针为正。

1. 关节 {i-1} 逆时针旋转，给 杆 {i} 一个向左上的力 $f_i$。
2. 关节 {i} 逆时针旋转，给 杆 {i} 一个向右上的力 $f_{i+1}$，自身受到 杆 {i+1} 的反作用力 $-f_{i+1}$。

根据右手法则，两端连杆对杆 {i} 施加的力矩方向相反。我们的目标是计算质心处的合力矩。已知作用于两端的力矩，通过端点到质心的变换公式合成：

质心 Ci 向杆 {i} 坐标系原点的向量是 $-{}^{i}\textrm{P}{C_i}$，向杆 {i+1} 坐标系原点的向量则是 $-{}^{i}\textrm{P}{C_i} + {}^{i}\textrm{P}{i+1}$。由此得到质心处的合力矩 $-{}^{i}\textrm{N}{i}$。

关节 i 应该施加的力矩 $-{}^{i}\textrm{n}{i}$ 可通过移项得到。观察公式可知，计算前一个关节的力矩必须得知后一个关节的力矩，这就是'逆推'名称的由来。

需要注意的是，$-{}^{i}\textrm{n}{i}$ 是中间变量——惯性力矩。真正的关节力矩只能控制绕 z 轴旋转的部分。因此，我们需要提取 Z 方向的力矩，直接用 Z 轴的方向向量点积即可：

至此，便完全掌握了正逆推的过程。

静力学分析与算法对比

特别地，当机械臂的速度和加速度均为零时，上述公式可简化为静力学分析，用于评估静态下的负载能力。

为什么选择牛顿欧拉法？

牛顿欧拉法的优势在于时间复杂度最低，仅为 O(n)，适合实时控制。当然，其缺点也显而易见：推导过程繁琐，依赖递归顺序，且不易直接得到显式动力学模型。