机器人动力学核心：牛顿 - 欧拉法推导与解析

正向递推

由于串联机械臂具有强耦合关系，相邻关节之间存在递推关系。当前连杆的运动状态依赖于前一个连杆的运动参数。我们只关心相邻连杆的运动状态关系。

旋转运动参数

角速度

对于角速度：

该式直观易懂：真实的角速度等于公转速度加上自转速度。这里 $w_i$ 指前一个关节的角速度，第二项是当前关节绕自身轴 $Z_{i+1}$ 的自转速度。

角加速度

对于角加速度，需对角速度求时间的微分。第一项求导正常，第二项需注意乘积求导法则。重点在于如何对 $\hat{Z}_{i+1}$ 求导。

为简化理解，假设 $Z_{i}$ 和 $Z_{i+1}$ 互相垂直。此时 $d\hat{Z}{i+1}$ 表示 $\hat{Z}{i+1}$ 相对原位置的偏移，可用 $\hat{Z}{i+1}$ 与 $\hat{Z}{i}$ 的叉积表示。

经过 $dt$ 后，$\hat{Z}_{i+1}$ 发生微小变化，其变化率满足：

即：

这就是第三项的来源。接着，将所有参数转入 {i+1} 系中，利用旋转矩阵统一上下标：

平移运动参数

线速度

线速度不仅由前一个连杆传递，若前一个连杆是旋转关节，还会因连杆长度 $R$ 产生旋转引起的线速度：

这里的 $P^*_{i+1}$ 是指 {i} 系原点指向 {i+1} 系原点的向量，即连杆长度。

线加速度

同理，求加速度是对速度求时间的微分。利用乘积求导法则，并替换 $\dot P^*_{i+1}$，可得上式。先将各参数转入 {i} 参考系，再用旋转矩阵转入 {i+1} 系：

从质心到关节的变换

实际控制中关注的是关节，因此需要将质心处的参数变换到关节上。

规定关节坐标系原点指向质心的向量为 $P^*{C{i+1}}$，套用线速度的递推公式：

同理求导可得线加速度关系，并将其转入 {i+1} 系：

至此，我们完成了线速度、角速度、线加速度、角加速度的递推公式推导。同时结合牛顿和欧拉方程提供的力和力矩递推公式，即可借助前一个连杆的运动参数计算当前连杆的运动参数。

反向递推

反推是通过力、力矩和运动参数构成的方程，输入运动参数，获得各关节的力矩。

采用改进 DH 参数建模时，第 i 连杆在第 i 关节的后面。每一个关节独立产生控制力矩，我们对第 i 连杆受力分析：杆 i 会受到杆 (i-1) 的作用力 $f_i$，也会受到杆 (i-1) 的反作用力 $f_{i-1}$。

列出牛二定律：

统一到 {i} 坐标系中：

接下来分析连杆 {i} 质心处的受力情况。假设所有关节的 z 旋转轴平行且垂直纸面向外，逆时针为正。关节 {i-1} 逆时针旋转给杆 {i} 一个向左上的力 $f_i$；关节 {i} 逆时针旋转给杆 {i} 一个向右上的力 $f_{i+1}$，自身会受到杆 {i+1} 的反作用力 $-f_{i+1}$。

根据右手法则，杆 {i-1} 对杆 {i} 施加 $f_i$ 的力，力臂为 r1，力矩 N 方向朝下；杆 {i} 对杆 {i+1} 施加 $f_{i+1}$ 的力，力臂为 ri+1，反作用力产生的力矩方向朝上。

我们的目标是计算质心处的合力矩。已知两端相邻连杆对杆 {i} 的作用力矩，将其转换到质心处：

假设质心 Ci 向杆 {i} 坐标系原点的向量是 $-{}^{i}\textrm{P}{C_i}$，那么质心 Ci 向杆 {i+1} 坐标系原点的向量就是 ${}^{i}\textrm{P}{i+1}-{}^{i}\textrm{P}{C_i}$。通过上述公式合成到质心处，得到 ${}^{i}\textrm{N}{i}$ 即为质心处的合力矩。

关节 i 应该施加的力可以通过移项得到 ${}^{i}\textrm{n}{i}$。观察公式，显然和 ${}^{i+1}\textrm{n}{i+1}$ 相关，因此计算前一个关节的力矩必须得知后一个关节的力矩。这就是为什么计算力矩的过程叫做'逆推'。

引入质心是为了构建前后关节的力矩关系，从而递推。${}^{i}\textrm{n}{i}$ 是中间变量——惯性力矩。它考虑了当前杆件和相邻杆件的惯性力矩、外力和重力的影响。但关节只能产生绕 z 轴旋转的力矩，非绕 z 轴的力无法被关节控制。

因此我们需要提取与绕 Z 轴相关的力矩，直接用 Z 轴的方向向量点积即可：

至此，便完全掌握了正逆推的过程。

静力学分析与对比

特别地，当机械臂的速度加速度均为零时，也就是静止时，上面的式子可以得到简化。下式刻画了静止时各关节力和力矩的计算方式，可用于分析静态下机械臂的负载能力。

这就是 Matlab 机器人工具箱的 RNE 实现逻辑。

为什么选择牛顿欧拉法？

时间复杂度最低——仅 O(n)。相对而言，拉格朗日法接近 O(n³)。

当然 RNE 也有缺点：推导过程繁琐，依赖递归顺序，不易直接得到显式动力学模型。掌握这些推导逻辑后，便能更好地理解底层控制算法。