六自由度机器人逆运动学解析与 MATLAB 实现
前言
在机器人学中，正运动学解决的是从关节变量到末端执行器位姿的映射问题。而逆运动学则相反，它需要根据给定的末端位姿和连杆参数，反推对应的关节变量。由于机械结构的差异，同一个末端位姿往往对应多组解（多解性）。逆运动学本质上是求解非线性超越方程组，方法主要分为封闭解法和数值解法。本文将重点介绍基于 D-H 参数表和齐次变换矩阵的封闭解法。
提示：阅读本文需要掌握运动学正解的基础知识及矩阵运算规则。
一、运动学逆解原理
1. Pieper 准则与封闭解
对于大多数工业机械臂，其结构通常满足 Pieper 准则，这是存在封闭逆解的充分条件。只要满足以下任一条件即可：
- 三个相邻关节轴相交于一点；
- 三个相邻关节轴相互平行。
以常见的 PUMA560 六自由度机械臂为例，其前三个关节确定手腕参考点位置，后三个关节确定手腕方位，且满足上述准则，因此适合使用代数或几何方法进行解析求解。
为了便于推导，我们先列出该机器人的 D-H 参数表（具体构建过程可参考相关正运动学资料）：
![D-H 参数表]
2. 代数推导详解
设末端执行器的位姿由齐次变换矩阵 $T_6^0$ 表示，包含旋转矩阵 $R$ 和平移向量 $p$。我们的目标是求解六个关节角 $ heta_1$ 至 $ heta_6$。
基本思路是利用矩阵左乘逆矩阵的方式，逐步分离出单个关节变量。
求解 $ heta_1$
将一般变换方程两端左乘 ${}_1^0 T^{-1}( heta_1)$，使左侧仅保留 $ heta_1$ 相关的项。通过对比等式两侧矩阵的元素（特别是第 2 行和第 3 行的平移分量），可以建立关于 $ heta_1$ 的三角方程。
利用三角代换技巧，令 $p_x = \rho \cos\phi, p_y = \rho \sin\phi$，其中 $\rho = \sqrt{p_x^2 + p_y^2}$，$\phi = \text{Atan2}(p_x, p_y)$。最终可得：
$$\theta_1 = \text{Atan2}(p_y, p_x) - \text{Atan2}\left(d_2, \pm \sqrt{p_x^2 + p_y^2 - d_2^2}\right)$$
正负号代表了 $ heta_1$ 的两个可能解，分别对应机器人的'左腕'和'右腕'构型。
求解 $ heta_3$
选定 $ heta_1$ 的一个解后，通过组合方程并平方求和消除 $ heta_2$，可以得到只含 $ heta_3$ 的方程。形式上与求解 $ heta_1$ 类似，利用余弦定理的变体：
$$a_3 c_3 - d_4 s_3 = k$$
其中 $k$ 为已知量。解得：
$$\theta_3 = \text{Atan2}(a_3, d_4) - \text{Atan2}\left(k, \pm \sqrt{a_3^2 + d_4^2 - k^2}\right)$$
同样存在肘部向上和向下的两种构型。
求解 $ heta_2$
结合已知的 $ heta_1$ 和 $ heta_3$，通过左乘 ${}3^0 T^{-1}$ 简化方程，比较矩阵元素 $(1,4)$ 和 $(2,4)$，可解出 $ heta{23}$（即 $ heta_2 + \theta_3$），进而求得 $ heta_2$。
求解 $ heta_4, \theta_5, \theta_6$
后续关节角的求解逻辑一致。通过依次左乘前序关节的逆矩阵，分离出目标变量。例如求解 $ heta_4$ 时，需确保 $s_5 \neq 0$，否则机械臂处于奇异位置（手腕中心与关节轴重合），此时无法唯一确定 $ heta_4$ 和 $ heta_6$ 的值。
最终得到的 $ heta_5$ 和 $ heta_6$ 表达式如下：
$$\theta_5 = \text{Atan2}(s_5, c_5)$$ $$\theta_6 = \text{Atan2}(s_6, c_6)$$
至此，六个关节变量的解析解全部推导完成。实际应用中还需根据机械限位筛选有效解。
二、MATLAB 代码实现
理论推导完成后，我们可以将其转化为 MATLAB 代码进行验证。以下代码基于 Robotics System Toolbox 的 Link 类建模，并实现了上述逆解公式。
