基于遗传算法的 LQR 控制器最优设计算法

基于遗传算法的 LQR 控制器最优设计算法

线性二次调节器 (LQR) 是控制理论中重要的设计方法，而遗传算法 (GA) 为 LQR 控制器的优化设计提供了强大的全局搜索能力。

LQR 控制器基本原理

LQR 控制器通过最小化代价函数设计最优状态反馈增益矩阵：

$$J = \int (x^T Q x + u^T R u) dt$$

其中：

• $Q \ge 0$：状态加权矩阵
• $R > 0$：控制输入加权矩阵
• $u = -Kx$：状态反馈控制律

传统方法通过求解代数 Riccati 方程获得最优增益矩阵 $K$：

$$K = R^{-1} B^T P$$ $$A P + P A^T - P B R^{-1} B^T P + Q = 0$$

遗传算法优化 LQR 设计

优化问题分析

1. 优化变量：Q 和 R 矩阵的元素
2. 目标函数：闭环系统性能指标（如响应时间、超调量、控制能耗）
3. 约束条件：系统稳定性、控制输入限制

算法流程

1. 初始化种群
2. 评估适应度
3. 判断是否满足终止条件？
   • 是：输出最优解
   • 否：执行选择操作 -> 交叉操作 -> 变异操作 -> 生成新一代种群 -> 返回步骤 2

MATLAB 实现

1. 系统建模与适应度函数

function [fitness, stability] = lqr_fitness_function(params, A, B, Q_structure, R_structure)
    % 提取参数
    n = size(A, 1);
    m = size(B, 2);
    
    % 重构 Q 矩阵
    if strcmp(Q_structure, 'diagonal')
        q_diag = params(1:n);
        Q = diag(q_diag);
        param_offset = n;
    elseif strcmp(Q_structure, 'full')
        Q = reshape(params(1:n*n), n, n);
        Q = (Q + Q') / 2; % 确保对称性
        param_offset = n*n;
    end
    
    % 重构 R 矩阵
    if strcmp(R_structure, 'scalar')
        R = params(param_offset + 1);
        R = R * eye(m);
    elseif strcmp(R_structure, 'diagonal')
        r_diag = params(param_offset + 1:param_offset + m);
        R = diag(r_diag);
        param_offset = param_offset + m;
    elseif strcmp(R_structure, 'full')
        R = reshape(params(param_offset + 1:param_offset + m*m), m, m);
        R = (R + R') / 2; % 确保对称性
    end
    
    % 求解 Riccati 方程
    try
        [K, ~, eig_vals] = lqr(A, B, Q, R);
        stability = all(real(eig_vals) < 0); % 检查稳定性
    catch
        fitness = inf; % 求解失败，赋予极大代价
        stability = false;
        return;
    end
    
    % 闭环系统仿真
    sys_cl = ss(A - B*K, B, eye(n), 0);
    t = 0:0.01:10;
    x0 = [1; zeros(n-1, 1)]; % 初始状态
    [y, ~, x] = initial(sys_cl, x0, t);
    
    % 计算性能指标
    settling_time = settling_time_calc(y(:,1), t); % 调节时间
    overshoot = max(y(:,1)) / y(1,1) - 1; % 超调量
    control_effort = sum(sum((K*x).^2)) * 0.01; % 控制能耗
    
    % 加权适应度函数
    w1 = 0.4; % 调节时间权重
    w2 = 0.3; % 超调量权重
    w3 = 0.3; % 控制能耗权重
    fitness = w1*(settling_time/10) + w2*overshoot + w3*(control_effort/100);
    
    % 惩罚不稳定系统
    if ~stability
        fitness = fitness + 10;
    end
end

function ts = settling_time_calc(response, time)
    final_value = response(end);
    tolerance = 0.02 * abs(final_value); % 2% 容差带
    idx = find(abs(response - final_value) <= tolerance, 1, 'first');
    if isempty(idx)
        ts = time(end);
    else
        ts = time(idx);
    end
end