简单易学的机器学习算法——梯度提升决策树GBDT

梯度提升决策树（Gradient Boosting Decision Tree，GBDT）算法是近年来被提及比较多的一个算法，这主要得益于其算法的性能，以及该算法在各类数据挖掘以及机器学习比赛中的卓越表现，有很多人对GBDT算法进行了开源代码的开发，比较火的是陈天奇的XGBoost和微软的LightGBM。

1. 监督学习

1.1. 监督学习的主要任务

监督学习是机器学习算法中重要的一种，对于监督学习，假设有 m m m个训练样本：

{ ( X ( 1 ) , y ( 1 ) ) , ( X ( 2 ) , y ( 2 ) ) , ⋯ , ( X ( m ) , y ( m ) ) } \left \{ \left ( X^{\left ( 1 \right )},y^{\left ( 1 \right )} \right ),\left ( X^{\left ( 2 \right )},y^{\left ( 2 \right )} \right ),\cdots ,\left ( X^{\left ( m \right )},y^{\left ( m \right )} \right ) \right \} {(X(1),y(1)),(X(2),y(2)),⋯,(X(m),y(m))}

其中， X ( i ) = { x 1 ( i ) , x 2 ( i ) , ⋯ , x m ( i ) } X^{\left ( i \right )}=\left \{ x^{\left ( i \right )}_1,x^{\left ( i \right )}_2,\cdots ,x^{\left ( i \right )}_m \right \} X(i)={x1(i)​,x2(i)​,⋯,xm(i)​}称为第 i i i个样本的特征， y ( i ) y^{\left ( i \right )} y(i)称为第 i i i个样本的标签，样本标签可以为离散值，如分类问题；也可以为连续值，如回归问题。在监督学习中，利用训练样本训练出模型，该模型能够实现从样本特征 X ( i ) X^{\left ( i \right )} X(i)到样本标签 y ( i ) y^{\left ( i \right )} y(i)的映射，即：

X ( i ) → F y ( i ) X^{\left ( i \right )}\overset{F}{\rightarrow} y^{\left ( i \right )} X(i)→Fy(i)

为了能够对映射 F ( X ) F\left ( X \right ) F(X)进行求解，通常对模型设置损失函数 L ( y , F ( X ) ) L\left ( y,F\left ( X \right ) \right ) L(y,F(X))，并求得在损失函数最小的情况下的映射为最好的映射：

F ∗ = a r g m i n F ( X ) L ( y , F ( X ) ) F^\ast =\underset{F\left ( X \right )}{argmin}\; L\left ( y,F\left ( X \right ) \right ) F∗=F(X)argmin​L(y,F(X))

对于一个具体的问题，如线性回归问题，其映射函数的形式为：

F ( X ; W ) = W X = w 0 + w 1 x 1 + w 2 x 2 + ⋯ + w n x n F\left ( X;W \right )=WX=w_0+w_1x_1+w_2x_2+\cdots +w_nx_n F(X;W)=WX=w0​+w1​x1​+w2​x2​+⋯+wn​xn​

此时对于最优映射函数 F ( X ; W ) F\left ( X;W \right ) F(X;W)的求解，实质是对映射函数中的参数 W W W的求解。对于参数的求解方法有很多，如梯度下降法。

1.2. 梯度下降法

梯度下降法（Gradient Descent，GD）算法是求解最优化问题最简单、最直接的方法。梯度下降法是一种迭代的优化算法，对于优化问题：

m i n f ( w ) min\; f\left ( w \right ) minf(w)

其基本步骤为：

• 随机选择一个初始点 w 0 w_0 w0​
• 重复以下过程：
• 决定下降的方向： d i = − ∂ ∂ w f ( w ) ∣ w i d_i=-\frac{\partial }{\partial w}f\left ( w \right )\mid _{w_i} di​=−∂w∂​f(w)∣wi​​
• 选择步长 ρ \rho ρ
• 更新： w i + 1 = w i + ρ ⋅ d i w_{i+1}=w_i+\rho \cdot d_i wi+1​=wi​+ρ⋅di​
• 直到满足终止条件

梯度下降法的具体过程如下图所示：

由以上的过程，我们可以看出，对于最终的最优解 w ∗ w^\ast w∗，是由初始值 w 0 w_0 w0​经过 M M M代的迭代之后得到的，在这里，设 w 0 = d 0 w_0=d_0 w0​=d0​，则 w ∗ w^\ast w∗为：

w ∗ = ∑ i = 0 M ρ i ⋅ d i w^\ast =\sum_{i=0}^{M}\rho _i\cdot d_i w∗=i=0∑M​ρi​⋅di​

1.3. 在函数空间的优化

以上是在指定的函数空间中对最优函数进行搜索，那么，能否直接在函数空间（function space）中查找到最优的函数呢？根据上述的梯度下降法的思路，对于模型的损失函数 L ( y , F ( X ) ) L\left ( y,F\left ( X \right ) \right ) L(y,F(X))，为了能够求解出最优的函数 F ∗ ( X ) F^\ast\left ( X \right ) F∗(X)，首先，设置初始值为：

F 0 ( X ) = f 0 ( X ) F_0\left ( X \right )=f_0\left ( X \right ) F0​(X)=f0​(X)

以函数 F ( X ) F\left ( X \right ) F(X)作为一个整体，对于每一个样本 X ( i ) X^{\left ( i\right )} X(i)，都存在对应的函数值 F ( X ( i ) ) F\left ( X^{\left ( i\right )} \right ) F(X(i))。与梯度下降法的更新过程一致，假设经过 M M M代，得到最有的函数 F ∗ ( X ) F^\ast\left ( X \right ) F∗(X)为：

F ∗ ( X ) = ∑ i = 0 M f i ( X ) F^\ast\left ( X \right )=\sum_{i=0}^{M}f_i\left ( X \right ) F∗(X)=i=0∑M​fi​(X)

其中， f i ( X ) f_i\left ( X \right ) fi​(X)为：

f i ( X ) = − ρ i g m ( X ) f_i\left ( X \right )=-\rho _ig_m\left ( X \right ) fi​(X)=−ρi​gm​(X)

其中， g m ( X ) = [ ∂ L ( y , F ( X ) ) ∂ F ( X ) ] F ( X ) = F m − 1 ( X ) g_m\left ( X \right )=\left [ \frac{\partial L\left ( y,F\left ( X \right ) \right )}{\partial F\left ( X \right )} \right ]_{F\left ( X \right )=F_{m-1}\left ( X \right )} gm​(X)=[∂F(X)∂L(y,F(X))​]F(X)=Fm−1​(X)​。

由上述的过程可以得到函数 F ( X ) F\left ( X \right ) F(X)的更新过程：

F m ( X ) = ∑ i = 0 m f i ( X ) F_m\left ( X \right )=\sum_{i=0}^{m}f_i\left ( X \right ) Fm​(X)=i=0∑m​fi​(X)

与上面类似，函数 f ( X ) f\left ( X \right ) f(X)是由参数 a \textbf{a} a决定的，即：

f ( X ) = − ρ ⋅ h ( X ; a ) f\left ( X \right )=-\rho \cdot h\left ( X;\textbf{a} \right ) f(X)=−ρ⋅h(X;a)

2. Boosting

2.1. 集成方法之Boosting

Boosting方法是集成学习中重要的一种方法，在集成学习方法中最主要的两种方法为Bagging和Boosting，在Bagging中，通过对训练样本重新采样的方法得到不同的训练样本集，在这些新的训练样本集上分别训练学习器，最终合并每一个学习器的结果，作为最终的学习结果，Bagging方法的具体过程如下图所示：

在Bagging方法中，最重要的算法为随机森林Random Forest算法。由以上的图中可以看出，在Bagging方法中， b b b个学习器之间彼此是相互独立的，这样的特点使得Bagging方法更容易并行。与Bagging方法不同，在Boosting算法中，学习器之间是存在先后顺序的，同时，每一个样本是有权重的，初始时，每一个样本的权重是相等的。首先，第 1 1 1个学习器对训练样本进行学习，当学习完成后，增大错误样本的权重，同时减小正确样本的权重，再利用第 2 2 2个学习器对其进行学习，依次进行下去，最终得到 b b b个学习器，最终，合并这 b b b个学习器的结果，同时，与Bagging中不同的是，每一个学习器的权重也是不一样的。Boosting方法的具体过程如下图所示：

在Boosting方法中，最重要的方法包括：和。

2.2. Gradient Boosting

由上图所示的Boosting方法中，最终的预测结果为 b b b个学习器结果的合并：

f ( X ) = ∑ j = 1 b θ j φ j ( X ) f\left ( X \right )=\sum_{j=1}^{b}\theta _j\varphi _j\left ( X \right ) f(X)=j=1∑b​θj​φj​(X)

这与上述的在函数空间中的优化类似：

F m ( X ) = ∑ i = 0 m − ρ i ⋅ h ( X ; a i ) F_m\left ( X \right )=\sum_{i=0}^{m}-\rho _i\cdot h\left ( X;\textbf{a}_i \right ) Fm​(X)=i=0∑m​−ρi​⋅h(X;ai​)

根据如上的函数空间中的优化可知，每次对每一个样本的训练的值为：

y ˉ i = [ ∂ L ( y i , F ( X ( i ) ) ) ∂ F ( X ( i ) ) ] F ( X ) = F m − 1 ( X ) \bar{y}_i=\left [ \frac{\partial L\left ( y_i,F\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right )}{\partial F\left ( X^{\left ( i \right )} \right )} \right ]_{F\left ( X \right )=F_{m-1}\left ( X \right )} yˉ​i​=[∂F(X(i))∂L(yi​,F(X(i)))​]F(X)=Fm−1​(X)​

上建立模型，由于上述是一个求解梯度的过程，因此也称为基于梯度的Boost方法，其具体过程如下所示：

3. Gradient Boosting Decision Tree

在上面简单介绍了Gradient Boost框架，梯度提升决策树Gradient Boosting Decision Tree是Gradient Boost框架下使用较多的一种模型，在梯度提升决策树中，其基学习器是分类回归树CART，使用的是CART树中的回归树。

3.1. 分类回归树CART

分类回归树CART算法是一种基于二叉树的机器学习算法，其既能处理回归问题，又能处理分类为题，在梯度提升决策树GBDT算法中，使用到的是CART回归树算法，对于CART树算法的更多信息，可以参考。

对于一个包含了 m m m个训练样本的回归问题，其训练样本为：

{ ( X ( 1 ) , y ( 1 ) ) , ( X ( 2 ) , y ( 2 ) ) , ⋯ , ( X ( m ) , y ( m ) ) } \left \{ \left ( X^{\left ( 1 \right )},y^{\left ( 1 \right )} \right ),\left ( X^{\left ( 2 \right )},y^{\left ( 2 \right )} \right ),\cdots ,\left ( X^{\left ( m \right )},y^{\left ( m \right )} \right ) \right \} {(X(1),y(1)),(X(2),y(2)),⋯,(X(m),y(m))}

其中， X ( i ) X^{\left ( i \right )} X(i)为 n n n维向量，表示的是第 i i i个样本的特征， y ( i ) y^{\left ( i \right )} y(i)为样本的标签，在回归问题中，标签 y ( i ) y^{\left ( i \right )} y(i)为一系列连续的值。此时，利用训练样本训练一棵CART回归树：

• 开始时，CART树中只包含了根结点，所有样本都被划分在根结点上：

此时，计算该节点上的样本的方差（此处要乘以 m m m），方差表示的是数据的波动程度。那么，根节点的方差的 m m m倍为：

s 2 ⋅ m = ( y ( 1 ) − y ˉ ) 2 + ( y ( 2 ) − y ˉ ) 2 + ⋯ + ( y ( m ) − y ˉ ) 2 s^2\cdot m=\left ( y^{\left ( 1 \right )}-\bar{y} \right )^2+\left ( y^{\left ( 2 \right )}-\bar{y} \right )^2+\cdots +\left ( y^{\left ( m \right )}-\bar{y} \right )^2 s2⋅m=(y(1)−yˉ​)2+(y(2)−yˉ​)2+⋯+(y(m)−yˉ​)2

其中， y ˉ \bar{y} yˉ​为标签的均值。此时，从 n n n维特征中选择第 j j j维特征，从 m m m个样本中选择一个样本的值： x j x_j xj​作为划分的标准，当样本 i i i的第 j j j维特征小于等于 x j x_j xj​时，将样本划分到左子树中，否则，划分到右子树中，通过以上的操作，划分到左子树中的样本个数为 m 1 m_1 m1​，划分到右子树的样本的个数为 m 2 = m − m 1 m_2=m-m_1 m2​=m−m1​，其划分的结果如下图所示：

那么，什么样本的划分才是当前的最好划分呢？此时计算左右子树的方差之和： s 1 2 ⋅ m 1 + s 2 2 ⋅ m 2 s_1^2\cdot m_1+s_2^2\cdot m_2 s12​⋅m1​+s22​⋅m2​：

s 1 2 ⋅ m 1 + s 2 2 ⋅ m 2 = ∑ X ( i ) ∈ l e f t ( y ( i ) − y ˉ 1 ) 2 + ∑ X ( j ) ∈ r i g h t ( y ( j ) − y ˉ 2 ) 2 s_1^2\cdot m_1+s_2^2\cdot m_2=\sum_{X^{\left ( i \right )}\in left}\left ( y^{\left ( i \right )}-\bar{y}_1 \right )^2+\sum_{X^{\left ( j \right )}\in right}\left ( y^{\left ( j \right )}-\bar{y}_2 \right )^2 s12​⋅m1​+s22​⋅m2​=X(i)∈left∑​(y(i)−yˉ​1​)2+X(j)∈right∑​(y(j)−yˉ​2​)2

其中， y ˉ 1 \bar{y}_1 yˉ​1​为左子树中节点标签的均值，同理， y ˉ 2 \bar{y}_2 yˉ​2​为右子树中节点标签的均值。选择其中 s 1 2 ⋅ m 1 + s 2 2 ⋅ m 2 s_1^2\cdot m_1+s_2^2\cdot m_2 s12​⋅m1​+s22​⋅m2​最小的划分作为最终的划分，依次这样划分下去，直到得到最终的划分，划分的结果为：

注意：对于上述最优划分标准的选择，以上的计算过程可以进一步优化。

首先，对于 s 2 ⋅ m s^2\cdot m s2⋅m：

s 2 ⋅ m = ∑ X ( i ) ( y ( i ) − y ˉ ) 2 = ∑ X ( i ) ( ( y ( i ) ) 2 − 2 y ( i ) ⋅ y ˉ + ( y ˉ ) 2 ) = ∑ X ( i ) ( y ( i ) ) 2 − 2 m ( ∑ X ( i ) y ( i ) ) 2 + 1 m ( ∑ X ( i ) y ( i ) ) 2 = ∑ X ( i ) ( y ( i ) ) 2 − 1 m ( ∑ X ( i ) y ( i ) ) 2 \begin{align*} s^2\cdot m &=\sum_{X^{\left ( i \right )}}\left ( y^{\left ( i \right )}-\bar{y} \right )^2\\ &= \sum_{X^{\left ( i \right )}}\left ( \left ( y^{\left ( i \right )} \right )^2-2y^{\left ( i \right )}\cdot \bar{y}+\left ( \bar{y} \right )^2\right )\\ &=\sum_{X^{\left ( i \right )}}\left ( y^{\left ( i \right )} \right )^2-\frac{2}{m}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}} y^{\left ( i \right )} \right )^2+\frac{1}{m}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}} y^{\left ( i \right )} \right )^2 \\ &= \sum_{X^{\left ( i \right )}}\left ( y^{\left ( i \right )} \right )^2-\frac{1}{m}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}} y^{\left ( i \right )} \right )^2 \end{align*} s2⋅m​=X(i)∑​(y(i)−yˉ​)2=X(i)∑​((y(i))2−2y(i)⋅yˉ​+(yˉ​)2)=X(i)∑​(y(i))2−m2​(X(i)∑​y(i))2+m1​(X(i)∑​y(i))2=X(i)∑​(y(i))2−m1​(X(i)∑​y(i))2​

而对于 s 1 2 ⋅ m 1 + s 2 2 ⋅ m 2 s_1^2\cdot m_1+s_2^2\cdot m_2 s12​⋅m1​+s22​⋅m2​：

s 1 2 ⋅ m 1 + s 2 2 ⋅ m 2 = ∑ X ( i ) ∈ l e f t ( y ( i ) − y ˉ 1 ) 2 + ∑ X ( j ) ∈ r i g h t ( y ( j ) − y ˉ 2 ) 2 = ∑ X ( i ) ∈ l e f t ( ( y ( i ) ) 2 − 2 y ( i ) ⋅ y ˉ 1 + ( y ˉ 1 ) 2 ) + ∑ X ( j ) ∈ r i g h t ( ( y ( j ) ) 2 − 2 y ( j ) ⋅ y ˉ 2 + ( y ˉ 2 ) 2 ) \begin{align*} s_1^2\cdot m_1+s_2^2\cdot m_2 &= \sum_{X^{\left ( i \right )}\in left}\left ( y^{\left ( i \right )}-\bar{y}_1 \right )^2+\sum_{X^{\left ( j \right )}\in right}\left ( y^{\left ( j \right )}-\bar{y}_2 \right )^2\\ &= \sum_{X^{\left ( i \right )}\in left}\left ( \left ( y^{\left ( i \right )} \right )^2-2y^{\left ( i \right )}\cdot \bar{y}_1+\left ( \bar{y}_1 \right )^2\right )+\sum_{X^{\left ( j \right )}\in right}\left ( \left ( y^{\left ( j \right )} \right )^2-2y^{\left ( j \right )}\cdot \bar{y}_2+\left ( \bar{y}_2 \right )^2 \right ) \end{align*} s12​⋅m1​+s22​⋅m2​​=X(i)∈left∑​(y(i)−yˉ​1​)2+X(j)∈right∑​(y(j)−yˉ​2​)2=X(i)∈left∑​((y(i))2−2y(i)⋅yˉ​1​+(yˉ​1​)2)+X(j)∈right∑​((y(j))2−2y(j)⋅yˉ​2​+(yˉ​2​)2)​

= ∑ X ( i ) ( y ( i ) ) 2 − 2 m 1 ( ∑ X ( i ) ∈ l e f t y ( i ) ) 2 + 1 m 1 ( ∑ X ( i ) ∈ l e f t y ( i ) ) 2 − 2 m 2 ( ∑ X ( j ) ∈ r i g h t y ( j ) ) 2 + 1 m 2 ( ∑ X ( j ) ∈ r i g h t y ( j ) ) 2 = ∑ X ( i ) ( y ( i ) ) 2 − 1 m 1 ( ∑ X ( i ) ∈ l e f t y ( i ) ) 2 − 1 m 2 ( ∑ X ( j ) ∈ r i g h t y ( j ) ) 2 \begin{align*} &=\sum_{X^{\left ( i \right )}}\left ( y^{\left ( i \right )} \right )^2-\frac{2}{m_1}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}\in left} y^{\left ( i \right )} \right )^2+\frac{1}{m_1}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}\in left} y^{\left ( i \right )} \right )^2 \\ &- \frac{2}{m_2}\left ( \sum_{X^{\left ( j \right )}\in right} y^{\left ( j \right )} \right )^2+\frac{1}{m_2}\left ( \sum_{X^{\left ( j \right )}\in right} y^{\left ( j \right )} \right )^2\\ &= \sum_{X^{\left ( i \right )}}\left ( y^{\left ( i \right )} \right )^2-\frac{1}{m_1}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}\in left} y^{\left ( i \right )} \right )^2-\frac{1}{m_2}\left ( \sum_{X^{\left ( j \right )}\in right} y^{\left ( j \right )} \right )^2 \end{align*} ​=X(i)∑​(y(i))2−m1​2​⎝   ⎛​X(i)∈left∑​y(i)⎠   ⎞​2+m1​1​⎝   ⎛​X(i)∈left∑​y(i)⎠   ⎞​2−m2​2​⎝   ⎛​X(j)∈right∑​y(j)⎠   ⎞​2+m2​1​⎝   ⎛​X(j)∈right∑​y(j)⎠   ⎞​2=X(i)∑​(y(i))2−m1​1​⎝   ⎛​X(i)∈left∑​y(i)⎠   ⎞​2−m2​1​⎝   ⎛​X(j)∈right∑​y(j)⎠   ⎞​2​

通过以上的过程，我们发现，划分前，记录节点的值为：

1 m ( ∑ X ( i ) y ( i ) ) 2 \frac{1}{m}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}} y^{\left ( i \right )} \right )^2 m1​(X(i)∑​y(i))2

当划分后，两个节点的值的和为：

1 m 1 ( ∑ X ( i ) ∈ l e f t y ( i ) ) 2 + 1 m 2 ( ∑ X ( j ) ∈ r i g h t y ( j ) ) 2 \frac{1}{m_1}\left ( \sum_{X^{\left ( i \right )}\in left} y^{\left ( i \right )} \right )^2+\frac{1}{m_2}\left ( \sum_{X^{\left ( j \right )}\in right} y^{\left ( j \right )} \right )^2 m1​1​⎝   ⎛​X(i)∈left∑​y(i)⎠   ⎞​2+m2​1​⎝   ⎛​X(j)∈right∑​y(j)⎠   ⎞​2

最好的划分，对应着两个节点的值的和的最大值。

3.2. GBDT——二分类

在梯度提升决策树GBDT中，通过定义不同的损失函数，可以完成不同的学习任务，二分类是机器学习中一类比较重要的分类算法，在二分类中，其损失函数为：

L ( y , F ) = l o g ( 1 + e x p ( − 2 y F ) ) , y ∈ { − 1 , 1 } L\left ( y,F \right )=log\left ( 1+exp\left ( -2yF \right ) \right ),\; y\in\left \{ -1,1 \right \} L(y,F)=log(1+exp(−2yF)),y∈{−1,1}

套用上面介绍的GB框架，得到下述的二分类GBDT的算法：

在构建每一棵CART回归树的过程中，对一个样本的预测值应与 y ~ \tilde{y} y~​尽可能一致，对于 y ~ \tilde{y} y~​，其计算过程为：

y ~ ( i ) = − [ ∂ L ( y ( i ) , F ( X ( i ) ) ) ∂ F ( X ( i ) ) ] F ( X ) = F m − 1 ( X ) = − [ ∂ l o g ( 1 + e x p ( − 2 y ( i ) F ( X ( i ) ) ) ) ∂ F ( X ( i ) ) ] F ( X ) = F m − 1 ( X ) = − [ 1 1 + e x p ( − 2 y ( i ) F ( X ( i ) ) ) ⋅ e x p ( − 2 y ( i ) F ( X ( i ) ) ) ⋅ ( − 2 y ( i ) ) ] F ( X ) = F m − 1 ( X ) \begin{align*} \tilde{y}^{\left (i \right )} &= -\left [ \frac{\partial L\left ( y^{\left ( i \right )},F\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right )}{\partial F\left ( X^{\left ( i \right )} \right )} \right ]_{F\left ( X \right )=F_{m-1}\left ( X \right )}\\ &= -\left [ \frac{\partial log\left ( 1+exp\left ( -2y^{\left ( i \right )}F\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right ) \right )}{\partial F\left ( X^{\left ( i \right )} \right )} \right ]_{F\left ( X \right )=F_{m-1}\left ( X \right )}\\ &= -\left [ \frac{1}{1+exp\left ( -2y^{\left ( i \right )}F\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right )}\cdot exp\left ( -2y^{\left ( i \right )}F\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right )\cdot \left ( -2y^{\left ( i \right )} \right ) \right ]_{F\left ( X \right )=F_{m-1}\left ( X \right )} \end{align*} y~​(i)​=−[∂F(X(i))∂L(y(i),F(X(i)))​]F(X)=Fm−1​(X)​=−[∂F(X(i))∂log(1+exp(−2y(i)F(X(i))))​]F(X)=Fm−1​(X)​=−[1+exp(−2y(i)F(X(i)))1​⋅exp(−2y(i)F(X(i)))⋅(−2y(i))]F(X)=Fm−1​(X)​​

= 2 y ( i ) ⋅ e x p ( − 2 y ( i ) F ( X ( i ) ) ) 1 + e x p ( − 2 y ( i ) F ( X ( i ) ) ) F ( X ) = F m − 1 ( X ) = 2 y ( i ) 1 + e x p ( 2 y ( i ) F m − 1 ( X ( i ) ) ) \begin{align*} &=\frac{2y^{\left ( i \right )}\cdot exp\left ( -2y^{\left ( i \right )}F\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right )}{1+exp\left ( -2y^{\left ( i \right )}F\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right )}_{F\left ( X \right )=F_{m-1}\left ( X \right )}\\ &= \frac{2y^{\left ( i \right )}}{1+exp\left ( 2y^{\left ( i \right )}F_{m-1}\left ( X^{\left ( i \right )} \right ) \right )} \end{align*} ​=1+exp(−2y(i)F(X(i)))2y(i)⋅exp(−2y(i)F(X(i)))​F(X)=Fm−1​(X)​=1+exp(2y(i)Fm−1​(X(i)))2y(i)​​

在 y ~ \tilde{y} y~​（通常有的地方称为残差，在这里，更准确的讲是梯度下降的方向）上构建CART回归树。最终将每一个训练样本划分到对应的叶子节点中，计算此时该叶子节点的预测值：

γ j m = a r g m i n γ ∑ X ( i ) ∈ R j m l o g ( 1 + e x p ( − 2 y ( i ) ( F m − 1 ( X ( i ) ) + γ ) ) ) \gamma _{jm}=\underset{\gamma }{argmin}\sum _{X^{\left ( i \right )}\in R_{jm}}log\left ( 1+exp\left ( -2y^{\left ( i \right )}\left ( F_{m-1}\left ( X^{\left ( i \right )} \right )+\gamma \right ) \right ) \right ) γjm​=γargmin​X(i)∈Rjm​∑​log(1+exp(−2y(i)(Fm−1​(X(i))+γ)))

由Newton-Raphson迭代公式可得：

γ j m = ∑ X ( i ) ∈ R j m y ~ ( i ) ∑ X ( i ) ∈ R j m ∣ y ~ ( i ) ∣ ( 2 − ∣ y ~ ( i ) ∣ ) \gamma _{jm}=\frac{\sum _{X^{\left ( i \right )}\in R_{jm}}\tilde{y}^{\left (i \right )}}{\sum _{X^{\left ( i \right )}\in R_{jm}}\left | \tilde{y}^{\left (i \right )} \right |\left ( 2-\left | \tilde{y}^{\left (i \right )} \right | \right )} γjm​=∑X(i)∈Rjm​​∣   ∣​y~​(i)∣   ∣​(2−∣   ∣​y~​(i)∣   ∣​)∑X(i)∈Rjm​​y~​(i)​

以参考文献中提供的代码为例：

• GBDT训练的主要代码为：

void GBDT::fit(Problem const &Tr, Problem const &Va)
{
        bias = calc_bias(Tr.Y); //用于初始化的F

        std::vector<float> F_Tr(Tr.nr_instance, bias), F_Va(Va.nr_instance, bias);

        Timer timer;
        printf("iter     time    tr_loss    va_loss\n");
        // 开始训练每一棵CART树
        for(uint32_t t = 0; t < trees.size(); ++t)
        {
                timer.tic();

                std::vector<float> const &Y = Tr.Y;
                std::vector<float> R(Tr.nr_instance), F1(Tr.nr_instance); // 记录残差和F

                #pragma omp parallel for schedule(static)
                for(uint32_t i = 0; i < Tr.nr_instance; ++i)
                        R[i] = static_cast<float>(Y[i]/(1+exp(Y[i]*F_Tr[i]))); //计算残差，或者称为梯度下降的方向

                // 利用上面的残差值，在此函数中构造一棵树
                trees[t].fit(Tr, R, F1); // 分类树的生成

                double Tr_loss = 0;
                // 用上面训练的结果更新F_Tr，并计算log_loss
                #pragma omp parallel for schedule(static) reduction(+: Tr_loss)
                for(uint32_t i = 0; i < Tr.nr_instance; ++i)
                {
                        F_Tr[i] += F1[i];
                        Tr_loss += log(1+exp(-Y[i]*F_Tr[i]));
                }
                Tr_loss /= static_cast<double>(Tr.nr_instance);

                // 用上面训练的结果预测测试集，打印log_loss
                #pragma omp parallel for schedule(static)
                for(uint32_t i = 0; i < Va.nr_instance; ++i)
                {
                        std::vector<float> x = construct_instance(Va, i);
                        F_Va[i] += trees[t].predict(x.data()).second;
                }

                double Va_loss = 0;
                #pragma omp parallel for schedule(static) reduction(+: Va_loss)
                for(uint32_t i = 0; i < Va.nr_instance; ++i)
                        Va_loss += log(1+exp(-Va.Y[i]*F_Va[i]));
                Va_loss /= static_cast<double>(Va.nr_instance);

                printf("%4d %8.1f %10.5f %10.5f\n", t, timer.toc(), Tr_loss, Va_loss);
                fflush(stdout);
        }
}

• CART回归树的训练代码为：

void CART::fit(Problem const &prob, std::vector<float> const &R, std::vector<float> &F1){
	uint32_t const nr_field = prob.nr_field; // 特征的个数
	uint32_t const nr_sparse_field = prob.nr_sparse_field;
	uint32_t const nr_instance = prob.nr_instance; // 样本的个数

	std::vector<Location> locations(nr_instance); // 样本信息

	#pragma omp parallel for schedule(static)
	for(uint32_t i = 0; i < nr_instance; ++i)
		locations[i].r = R[i]; // 记录每一个样本的残差

	for(uint32_t d = 0, offset = 1; d < max_depth; ++d, offset *= 2){// d:深度

		uint32_t const nr_leaf = static_cast<uint32_t>(pow(2, d)); // 叶子节点的个数


		std::vector<Meta> metas0(nr_leaf); // 叶子节点的信息

		for(uint32_t i = 0; i < nr_instance; ++i){

			Location &location = locations[i]; //第i个样本的信息
 
			if(location.shrinked)
				continue;

			Meta &meta = metas0[location.tnode_idx-offset]; //找到对应的叶子节点

			meta.s += location.r; //残差之和
			++meta.n;
		}

		std::vector<Defender> defenders(nr_leaf*nr_field); //记录每一个叶节点的每一维特征
		std::vector<Defender> defenders_sparse(nr_leaf*nr_sparse_field);
		// 针对每一个叶节点

		for(uint32_t f = 0; f < nr_leaf; ++f){

			Meta const &meta = metas0[f]; // 叶子节点

			double const ese = meta.s*meta.s/static_cast<double>(meta.n); //该叶子节点的ese

			for(uint32_t j = 0; j < nr_field; ++j)
				defenders[f*nr_field+j].ese = ese;

			for(uint32_t j = 0; j < nr_sparse_field; ++j)
				defenders_sparse[f*nr_sparse_field+j].ese = ese;
		}
		
		std::vector<Defender> defenders_inv = defenders;

		std::thread thread_f(scan, std::ref(prob), std::ref(locations),
				std::ref(metas0), std::ref(defenders), offset, true);
		std::thread thread_b(scan, std::ref(prob), std::ref(locations),
				std::ref(metas0), std::ref(defenders_inv), offset, false);
		scan_sparse(prob, locations, metas0, defenders_sparse, offset, true);
		thread_f.join();
		thread_b.join();

		// 找出最佳的ese，scan里是每个字段的最佳ese，这里是所有字段的最佳ese，赋值给相应的tnode
		for(uint32_t f = 0; f < nr_leaf; ++f){
			// 对于每一个叶节点都找到最好的划分
			Meta const &meta = metas0[f];
			double best_ese = meta.s*meta.s/static_cast<double>(meta.n);

			TreeNode &tnode = tnodes[f+offset];
			for(uint32_t j = 0; j < nr_field; ++j){

				Defender defender = defenders[f*nr_field+j];//每一个叶节点都对应着所有的特征

				if(defender.ese > best_ese)
				{
					best_ese = defender.ese;
					tnode.feature = j;
					tnode.threshold = defender.threshold;
				}

				defender = defenders_inv[f*nr_field+j];
				if(defender.ese > best_ese)
				{
					best_ese = defender.ese;
					tnode.feature = j;
					tnode.threshold = defender.threshold;
				}
			}
			for(uint32_t j = 0; j < nr_sparse_field; ++j)
			{
				Defender defender = defenders_sparse[f*nr_sparse_field+j];
				if(defender.ese > best_ese)
				{
					best_ese = defender.ese;
					tnode.feature = nr_field + j;
					tnode.threshold = defender.threshold;
				}
			}
		}

		// 把每个instance都分配给树里的一个叶节点下
		#pragma omp parallel for schedule(static)
		for(uint32_t i = 0; i < nr_instance; ++i){

			Location &location = locations[i];
			if(location.shrinked)
				continue;

			uint32_t &tnode_idx = location.tnode_idx;
			TreeNode &tnode = tnodes[tnode_idx];
			if(tnode.feature == -1){
				location.shrinked = true;
			}else if(static_cast<uint32_t>(tnode.feature) < nr_field){

				if(prob.Z[tnode.feature][i].v < tnode.threshold)
					tnode_idx = 2*tnode_idx; 
				else
					tnode_idx = 2*tnode_idx+1; 
			}else{
				uint32_t const target_feature = static_cast<uint32_t>(tnode.feature-nr_field);
				bool is_one = false;
				for(uint64_t p = prob.SJP[i]; p < prob.SJP[i+1]; ++p) 
				{
					if(prob.SJ[p] == target_feature)
					{
						is_one = true;
						break;
					}
				}
				if(!is_one)
					tnode_idx = 2*tnode_idx; 
				else
					tnode_idx = 2*tnode_idx+1; 
			}
		}
	}
	
	// 用于计算gamma
	std::vector<std::pair<double, double>> 
		tmp(max_tnodes, std::make_pair(0, 0));
	for(uint32_t i = 0; i < nr_instance; ++i)
	{
		float const r = locations[i].r;
		uint32_t const tnode_idx = locations[i].tnode_idx;
		tmp[tnode_idx].first += r;
		tmp[tnode_idx].second += fabs(r)*(1-fabs(r));
	}

	for(uint32_t tnode_idx = 1; tnode_idx <= max_tnodes; ++tnode_idx)
	{
		double a, b;
		std::tie(a, b) = tmp[tnode_idx];
		tnodes[tnode_idx].gamma = (b <= 1e-12)? 0 : static_cast<float>(a/b);
	}

#pragma omp parallel for schedule(static)
	for(uint32_t i = 0; i < nr_instance; ++i)
		F1[i] = tnodes[locations[i].tnode_idx].gamma;// 重新更新F1的值
}

在参考文献中提供了Python实现的GBDT的版本。

参考文献

[1]

[2]

[3]

[4] 《统计机器学习》

[5]

[6]

[7]