二分查找算法详解：核心原理与实战应用

❓ 必须是有序数组吗？

✅ 不一定。只要数据具备'二段性'（即满足某种单调性质），即使整体无序也可使用二分。

二、典型场景实战

1. 基础二分查找

题目：给定升序数组 nums 和目标值 target，返回下标，不存在则返回 -1。

思路：标准模板，注意 mid 更新时机。

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] > target) {
                right = mid - 1;
            } else if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                return mid;
            }
        }
        return -1;
    }
};

2. 查找元素的第一个和最后一个位置

题目：在非递减数组中找出目标值的起始和结束位置。

思路：分别调用两次二分查找，一次找左边界，一次找右边界。

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        if (nums.empty()) return {-1, -1};
        
        // 查找左边界
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] >= target) right = mid;
            else left = mid + 1;
        }
        
        vector<int> ret = {-1, -1};
        if (nums[left] == target) ret[0] = left;
        
        // 查找右边界
        left = 0; right = nums.size() - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if (nums[mid] <= target) left = mid;
            else right = mid - 1;
        }
        
        if (nums[right] == target) ret[1] = right;
        return ret;
    }
};

3. x 的平方根

题目：计算非负整数 x 的算术平方根，只保留整数部分。

思路：无需构建数组，直接在 [1, x] 范围内二分。注意防止乘法溢出。

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x == 0) return 0;
        long long left = 1, right = x;
        while (left < right) {
            long long mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if (mid * mid > x) right = mid - 1;
            else left = mid;
        }
        return left;
    }
};

4. 山脉数组的峰顶索引

题目：在递增后递减的数组中找到峰值下标。

思路：虽然数组不完全有序，但具有'先增后减'的二段性。寻找递增区间的右端点即可。

class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {
        int left = 0, right = arr.size() - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if (arr[mid] > arr[mid - 1]) left = mid;
            else right = mid - 1;
        }
        return left;
    }
};

5. 点名（缺失数字）

题目：学号 0 ~ n-1 的升序数组中，仅有一位同学缺席，返回其学号。

思路：若 records[i] == i，说明前半部分无缺失；反之缺失在前半部分。本质是找分界点。

class Solution {
public:
    int takeAttendance(vector<int>& r) {
        if (r[0] != 0) return 0;
        int left = 0, right = r.size() - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if (r[mid] > mid) right = mid - 1;
            else left = mid;
        }
        return left + 1;
    }
};

三、总结

二分查找的核心在于将搜索空间减半，将复杂度优化至 O(log n)。实际应用中需注意三点：

1. 边界更新：明确是包含当前点还是排除当前点，决定 +1 或 -1。
2. 中点选取：配合边界更新策略，防止死循环。
3. 循环条件：根据是否需要处理 left == right 的情况选择 < 或 <=。

掌握这些细节后，二分法不仅适用于有序数组，还能灵活应用于具备单调性或二段性的各类场景中。