平衡二叉树判定：从 O(n²) 暴力递归到 O(n) 自底向上优化

一、平衡二叉树

平衡二叉树又称 AVL 树：当一棵空树或者它的左右两棵子树的高度差的绝对值不超过一，并且两棵子树都是平衡二叉树。

【注意】 任意节点的左右子树高度差不超过一；所以子树都满足平衡条件。

二、思路分析

方法一：时间复杂度为 O(n²)

我们先看最直观的思路。如果根节点为空，自然是平衡二叉树。接着调用 getHeight 获取左右子树的高度，判断高度差的绝对值是否小于等于 1。如果满足，还要递归检查左右子树是否平衡。这种方法的时间复杂度是 O(n²)，因为在计算每个节点的高度时，都会重复遍历其子树，导致大量冗余计算。

方法二：时间复杂度为 O(n)

优化的关键在于'自底向上'。同样先判断根节点是否为空。如果不为空，直接调用 getHeight 方法。这次我们让 getHeight 在计算高度的同时判断平衡性：如果树平衡，返回树的高度；如果不平衡，直接返回 -1。主函数只需判断返回值是否大于等于 0。这样每个节点只被访问一次，计算高度和判断平衡的操作合并为 O(1)，整体时间复杂度降为 O(n)。

三、代码展示

public boolean isBalanced(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return true;
    }
    int leftH = getHeight(root.left);
    int rightH = getHeight(root.right);
    return Math.abs(leftH - rightH) <= 1 && isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);
}

public int getHeight(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return 0;
    }
    int leftH = getHeight(root.left);
    int rightH = getHeight(root.right);
    return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
}

public   {
     (root == ) {
         ;
    }
     getHeight(root) >= ;
}

   {
     (root == ) {
         ;
    }
       getHeight(root.left);
     (leftH < ) {
         -;
    }
       getHeight(root.right);
     (leftH >=  && rightH >=  && Math.abs(leftH - rightH) <= ) {
         leftH > rightH ? leftH +  : rightH + ;
    }  {
         -;
    }
}