LeetCode 48：旋转图像的原地算法解析与实现

LeetCode 48：旋转图像

给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像。要求将图像顺时针旋转 90 度。关键点在于原地旋转，即直接修改输入的二维矩阵，不能使用另一个矩阵来存储结果。

解决这道题最直观且不易出错的方法是利用矩阵变换的数学性质：对角线翻转 + 左右翻转。下面通过数学原理、步骤拆解和代码细节为你详细分析。

1. 数学原理

我们要实现的是：坐标 $(i, j)$ 的元素，旋转 90 度后，应该去哪里？根据坐标变换公式，顺时针旋转 90 度后的位置是：$(j, n - 1 - i)$。

直接实现这个变换比较复杂，但我们可以将其分解为两步简单的几何变换：

1. 主对角线翻转（矩阵转置）： 将 $(i, j)$ 变为 $(j, i)$。此时，行变成了列。
2. 左右镜像翻转： 将 $(j, i)$ 变为 $(j, n - 1 - i)$。此时，每一行的元素顺序颠倒。

结论： $(i, j) \xrightarrow{转置} (j, i) \xrightarrow{左右翻转} (j, n - 1 - i)$。这刚好完成了顺时针 90 度旋转。

2. 步骤拆解（以 3x3 矩阵为例）

假设原始矩阵如下：

1 2 3 
4 5 6 
7 8 9 

第一步：沿主对角线翻转

主对角线就是从左上角到右下角的这条线（1, 5, 9）。我们将对角线两侧的元素进行两两交换：

• 2 和 4 交换
• 3 和 7 交换
• 6 和 8 交换

变化后的矩阵：

1 4 7 
2 5 8 
3 6 9 

此时观察：原来的第一行 [1,2,3] 变成了现在的第一列。

第二步：每一行左右镜像翻转

对每一行进行反转（Reverse）：

• 第一行 [1, 4, 7] 变成 [7, 4, 1]
• 第二行 [2, 5, 8] 变成 [8, 5, 2]
• 第三行 [3, 6, 9] 变成 [9, 6, 3]

变化后的矩阵：

7 4 1 
8 5 2 
9 6 3 

结果完成！这正是原矩阵顺时针旋转 90 度后的样子。

3. 代码实现细节（Java 示例）

class Solution {
    public void rotate(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        
        // 1. 沿主对角线翻转
        // 注意：j 从 i + 1 开始，只处理右上半部分，避免重复交换
        for (int i  ; i < n; i++) {
             (   i + ; j < n; j++) {
                   matrix[i][j];
                matrix[i][j] = matrix[j][i];
                matrix[j][i] = temp;
            }
        }
        
        
        
         (   ; i < n; i++) {
             (   ; j < n / ; j++) {
                   matrix[i][j];
                
                matrix[i][j] = matrix[i][n -  - j];
                matrix[i][n -  - j] = temp;
            }
        }
    }
}