【 PID 算法 】PID 算法基础
一、简介
PID即：Proportional（比例）、Integral（积分）、Differential（微分）的缩写。也就是说，PID算法是结合这三种环节在一起的。粘一下百度百科中的东西吧。
顾名思义，PID控制算法是结合比例、积分和微分三种环节于一体的控制算法，它是连续系统中技术最为成熟、应用最为广泛的一种控制算法，该控制算法出现于20世纪30至40年代，适用于对被控对象模型了解不清楚的场合。实际运行的经验和理论的分析都表明，运用这种控制规律对许多工业过程进行控制时，都能得到比较满意的效果。PID控制的实质就是根据输入的偏差值，按照比例、积分、微分的函数关系进行运算，运算结果用以控制输出
二、闭环控制
这里有一个闭环控制与开环控制的概念，先说一下最简单的开环控制，就是不控制（好简单，哈哈哈）。
1. 开环控制
开环控制，就是控制回路不形成环，也就是，输出没有影响到输入的情况，输入只管输入，不依赖于输出。
这种情况下，可能系统由于外界干扰的等情况，导致输出并不是我们预期的输出，而是有一些偏差，这就不太好了。
粘一个知乎博主的图吧，就是如果想走到目标位置，由于外界影响走到了实际位置，但是因为是开环控制，输出并不会在行进过程中影响输入，也就是人并不会自动的根据输出来调整走的方向。这样就不太好。
2. 闭环控制
所谓闭环控制，就是输出影响输入，闭环控制是将输出量直接或间接反馈到输入端形成闭环、参与控制的控制方式。这样的话，当输出出现偏差的时候，就可以根据偏差来影响输入，进而调整下次输出的偏差。从而保持一种稳定情况。
如上图所示，假定在时刻T有：
输入【input(t)】、输出【output(t)】、误差【err(t) = input(t) - output(t)】、PID输出【u(t)】
系统真正的执行是执行的PID的输出值。系统的输出值，回到输入的地方，与当前时刻的输入进行误差计算，进而影响系统的执行过程。像这种输出影响输入的，就属于闭环控制。
如果上面开环控制部分：如果人的眼睛可以看到系统的执行输出，就可以影响人所进行的前进决策，从而调整系统的误差。这感觉就像形成了一个闭环控制。
三、PID算法的控制架构
如上图所示，就是PID算法的控制架构，它主要分为三个部分，并且这三个部分都是简单的相加就决定了u(t)。算是很简单的控制算法了。
接下来依次说一下：比例控制算法，积分控制算法，微分控制算法。
四、比例控制算法（P）
比例控制算法，我感觉应该是PID算法中比较核心的部分，感觉他是整个PID中的主力，至于其他的像积分控制算法，和微分控制算法，是为了消除误差，减少震荡。
如果在某一个环境中，如将水倒入水缸中，假设水缸的目的水位为1m，即r(t)为一个常量D=1m，
- 此时水缸为空，则当前的目的水位为0m，故此时误差e(t)为1m。此时的PID系统只有比例控制算法，故，u(t)=Kp * e(t)，假设Kp为0.1，故此时u(t)为0.1m，将0.1m的水倒进水缸中去。
- 水缸中有了0.1m的水，此时的误差就为0.9m，故此时需要加入0.09m的水，可以想象，这里就是一个累加的过程，最终终将会将水缸倒满。
在理想状态下，其实有比例控制算法就完全可以满足要求，但是，如果水缸漏水怎么办，如每当你放入0.05m的水，水缸就漏0.05m的水，这就导致最后水缸是永远填不满的，并且水缸水位保持固定，这就导致了这个误差会是一个稳定值，称为稳态误差，也就是这个误差通过PID算法计算出来的u(t)完全没有起到作用。
（ 在实际情况中，这种类似水缸漏水的情况往往更加常见，比如控制汽车运动，摩擦阻力就相当于是“漏水”，控制机械臂、无人机的飞行，各类阻力和消耗都可以理解为本例中的“漏水”）
五、积分控制算法（I）
积分控制算法，就是为了消除稳态误差，由于积分是从0时刻一直积分到当前时刻 t，并且是对e(t)函数进行积分。
- 在到达节点位置之前，e(t)始终是正的，也就是它的积分始终是大于0的，如果系统存在稳态误差的话，由于误差一直不变，但是积分变呀，积分会一直积下去，之前的稳态误差是中和了比例控制算法的值，现在有一个一直增长的积分，导致每次u(t)的输出也在一直的增大，从而稳态误差就被消除了。到最后，误差为零了，而此时的e(t)也为0了，积分也就固定在某一个值了。从而每次的稳态误差就都可以被消除掉。
- 如果到达节点位置之后了，也就是冲过了节点的指定位置，这时候误差就变为了负的，然后由于积分正负可以相减，同样可以很好的适应这种情况。
六、微分控制算法（D）
用了积分控制算法，现在可以消除稳定误差了，但是考虑下面几种情况：
- 现在的情况是不存在稳态误差，但是存在积分控制算法，那么问题就出现了，当到达了目的位置后，哪怕误差已经是0了，但是积分控制算法那里还是一个整数，导致下一次输出u(t)仍然为一个整数，而不是0，这样的话，就会越过目的位置，虽然之后误差就变成了负数，又会回落回目的位置，但是这样始终是震荡的，而不是一直稳定下去。
- 在初始状态下，如果Kp或者Ki设置的过大，则会导致u(t)的变化幅度过大。
综上，在上述情况下，加入微分控制就很有必要，其实微分控制的作用就是防止幅度过大，导致震荡或者超调，微分就是为了在输出斜率变的太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号。微分可以防止震荡。
当存在稳态误差的时候，由于微分对于常数的求导是0，故微分不能解决稳态误差的问题。单独使用意义不大，故需要与比例积分共同配合使用，构成PD或PID控制。
七、PID算法公式
PID算法公式如下图所示，Kp作用于所有的项，然后给积分部分再额外配一个系数，给微分项再额外配一个系数。
Kp —— 比例增益，Kp与比例度成倒数关系；
Tt —— 积分时间常数；
TD —— 微分时间常数；
u(t) —— PID控制器的输出信号；
e(t) —— 给定值 r (t) 与测量值之差。
这样再一看这个PID算法是不是就一目了然了呢。
接下来说一下公式推导。
1. 位置式
由于PID算法原型是连续函数，这样的一个操作在计算机中怕是不太行，所以需要将其离散化。从时刻0开始每隔 △t 时间间隔进行数据采样，则会形成下列一系列时间节点
(e0,e1,e2,e3 … ek)
相应的有
(u0,u1,u2,u3 … uk)
则有积分为离散化累加，微分为与上一时刻节点的连线斜率：
不过不影响理解，可以看到对于积分部分和微分部分，把 △t 都写成了T，然后把Kp都乘了进去 。然后对于以上的式子，给他们配一个统一的系数，即称积分部分为Ki，微分部分为Kd，则有如下式子：
这样的话，就清晰很多了，并且离散化的数值有利于计算机实现。
2. 增量式
这时设 △u(k) = u(k) - u(k-1) ，最终得到的增量式PID的离散公式如下：
八、结语
关于PID算法应该是超级简单的，下面我贴一个视频演示，以及两个我主要参考的博客吧。
