汽车雷达多径效应下的幽灵目标检测技术解析

经过匹配滤波 $\mathbf{Z} = \mathbf{Y}(\mathbf{X}\mathbf{P}(f_d))^H$ 并向量化后，虚拟 MIMO 阵列信号的一般模型为：

$$ \mathbf{z} = (\mathbf{R}x \otimes \mathbf{I}{M_R})\mathbf{A}(\boldsymbol{\Theta}, \boldsymbol{\Phi})\boldsymbol{\beta} + \mathbf{r} $$

其中 $\mathbf{R}_x = \mathbf{X}^*\mathbf{X}^T$，$\mathbf{A}(\boldsymbol{\Theta}, \boldsymbol{\Phi}) = \mathbf{A}_T(\boldsymbol{\Theta}) \circ \mathbf{A}_R(\boldsymbol{\Phi})$ 表示响应矩阵。

3. 多径检测

3.1 GLRT 检测器

幽灵检测本质上是一个耦合的检测 - 估计问题。我们需要区分复合假设 $H_0$（仅直接路径）与 $H_1$（含间接路径）。假设噪声协方差矩阵已知，通过白化变换，测试统计量定义为：

$$ T_{GLRT} = \frac{|\mathbf{P}(\boldsymbol{\Theta}_0)\bar{\mathbf{z}}|^2}{|\mathbf{P}(\boldsymbol{\Theta}, \boldsymbol{\Phi})\bar{\mathbf{z}}|^2} \underset{H_0}{\overset{H_1}{\gtrless}} \lambda_G $$

这里 $\mathbf{P}$ 代表正交投影矩阵。该统计量反映了数据在两种假设下的拟合程度差异。

3.2 性能界限和波形优化

在 $H_0$ 下，测试统计量比率服从 Fisher-Snedecor 分布。基于此，我们可以推导出虚警概率 $P_{fa}$ 和检测概率 $P_d$ 的闭式表达式。

图 2 描述：图 2 展示了虚警概率随阈值变化的曲线。随着间接路径数量 $K_1$ 增加，给定阈值下的虚警概率降低，因为假设间的可区分性增强了。

为了进一步提升性能，我们将波形优化问题形式化为半定规划（SDP）：

$$ \begin{align} \max_{\mathbf{R}_x, \boldsymbol{\Pi}} \quad & \text{Tr}\left(\mathbf{E}^H(\mathbf{R}x \otimes \mathbf{I}{M_R})\mathbf{E} - \boldsymbol{\Pi}\right) \ \text{s.t.} \quad & [\mathbf{R}x]{m,m} = 1, \quad m = 1, \dots, M_T \ & \boldsymbol{\Lambda} \succeq 0, \quad |\mathbf{R}x - \mathbf{I}{M_T}|^2 \leq \mu, \quad \mathbf{R}_x \succeq 0 \end{align} $$

这是一个标准的凸优化问题，可通过现有工具高效求解。

图 3 描述：图 3 对比了正交波形与优化波形的检测性能。可见在低信噪比条件下，波形优化能显著提升检测概率。

4. 多径角度估计

由于 $\mathbf{A}(\boldsymbol{\Theta}_0)$ 和 $\mathbf{A}(\boldsymbol{\Theta}, \boldsymbol{\Phi})$ 未知，我们需要开发估计方法。

4.1 $H_0$ 假设下的估计器

我们提出一种迭代过程。初始化残差 $\mathbf{r}^{(0)} = \bar{\mathbf{z}}$，角度集合为空。在第 $t$ 次迭代中，通过最大相关性准则搜索新路径角度：

$$ \hat{\theta}^{(t)} = \arg\max_{\theta^{(t)} \in {\tilde{\theta}_1, \dots, \tilde{\theta}_G}} \left|(\mathbf{r}^{(t-1)})^H \bar{\mathbf{a}}(\theta^{(t)})\right| $$

随后利用 Gauss-Newton (GN) 迭代细化估计。当角度差异较大时，GN 收敛良好；但当差异较小时，可能面临 Hessian 矩阵秩缺陷。

图 4 描述：图 4 比较了 GN 与 LM 方法的收敛行为。在角度差异较小（如 $(-1.9°, -3.2°)$）时，LM 方法通过引入阻尼项表现出更强的鲁棒性。

4.2 $H_1$ 假设下的估计器

在 $H_1$ 下，算法需同时估计直接路径和一阶路径。为减少干扰，我们在两个均匀网格上搜索粗略估计：

$$ (\hat{\vartheta}^{(t)}, \hat{\phi}^{(t)}) = \arg\max_{\substack{\vartheta^{(t)} \in \Xi_t \ \phi^{(t)} \in \Xi_r \ \vartheta^{(t)} < \phi^{(t)}}} \left[ |(\mathbf{r}^{(t-1)})^H(\mathbf{a}_T(\vartheta^{(t)}) \circ \mathbf{a}_R(\phi^{(t)}))| + \dots \right] $$

鉴于混合路径可能导致 GN 不稳定，我们采用 Levenberg-Marquardt (LM) 方法进行更新，通过增益比动态调整阻尼参数 $\mu^{(t,i)}$。

5. 仿真和实验结果

5.1 仿真设置

仿真基于 79 GHz FMCW MIMO 雷达，$M_T=6, M_R=8$。首先使用均匀线性阵列（ULA），随后验证稀疏线性阵列（SLA）的性能。噪声设为高斯分布，路径幅度随机生成。角度空间离散化为 2°步长。

图 5 描述：图 5 展示了 ULA 和 SLA 的天线布局及对应的虚拟阵列结构。SLA 虽增加了孔径，但也引入了栅瓣风险。

5.2 估计性能

我们评估了均方根误差（RMSE）。结果显示，所提出的 CSCD 方法在 ULA 和 SLA 配置下均优于 OMP、IAA 和 LASSO 等基于网格的方法，特别是在高信噪比区域，这得益于连续域优化避免了网格失配。

图 6 描述：图 6 对比了不同算法的 RMSE 性能。CSCD 方法在高 SNR 下表现最佳。

5.3 检测性能

图 7 描述：图 7 分析了导向矢量的相关性。ULA 旁瓣较低，SLA 旁瓣较高，解释了后者性能略降的原因。

图 8 描述：图 8 展示了检测概率与信噪比的关系。GLRT-CSCD 在 ULA 下接近理论界，在 SLA 下也显著优于其他 GLRT 变体。

图 9 描述：图 9 表明随着自由度增加，检测性能提升但收益递减，存在最优天线配置。

5.4 实验结果

实验在毫米波 77 GHz MIMO 雷达上进行，环境包含混凝土墙以模拟强多径。

图 10 描述：图 10 展示了实验场景及原始点云，蓝色椭圆标记了由一阶路径产生的幽灵目标。

图 11 描述：图 11 对比了不同方法的消除效果。GLRT-OMP/LASSO/IAA 未能完全移除幽灵或误删真实目标，而 GLRT-CSCD 成功消除了所有幽灵并保留了静止目标的直接路径。

6. 结论

本文研究了汽车雷达在多径存在下的幽灵目标检测问题。通过将间接路径建模为二元复合假设检验，提出了基于 GLRT 的检测器。在完美角度估计下推导了理论性能界限，并设计了凸波形优化方案。针对实际未知参数场景，开发了稀疏增强 CS 方法以估计连续域角度。仿真与实验结果表明，该方法优于传统网格基估计器，检测性能接近理论界限，且能有效控制虚警率。

附录

附录 A：$H_0$ 下梯度和 Hessian 矩阵的推导

定义 $F = \mathbf{f}^H\mathbf{f}$，其中 $\mathbf{f} = \bar{\mathbf{z}} - \bar{\mathbf{A}}\bar{\mathbf{A}}^\dagger\bar{\mathbf{z}}$。相对于 $\boldsymbol{\Theta}_0$ 的梯度计算如下：

$$ \mathbf{g}0 = \left[\frac{\partial F}{\partial \theta_1}, \dots, \frac{\partial F}{\partial \theta{K_0}}\right]^T $$

第 $q$ 个元素为：

$$ [g_0]_q = -2\text{Re}{\text{Tr}{\bar{\mathbf{A}}_0^\dagger \bar{\mathbf{z}}\bar{\mathbf{z}}^H \mathbf{P}_0 \bar{\mathbf{A}}_q}} $$

Hessian 矩阵 $\mathbf{H}_0$ 的元素近似为二阶偏导数：

$$ [H_0]_{q,p} = 2\text{Re}\left{\left(\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \theta_q}\right)^H \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \theta_p}\right} $$

详细推导涉及偏导矩阵 $\mathbf{D}_0$ 的构造，此处从略。

附录 B：$H_1$ 下梯度和 Hessian 矩阵的推导

类似地，对于 $H_1$ 假设，我们推导了 $\mathbf{g}T, \mathbf{g}R, \mathbf{g}0$ 及其对应的 Hessian 块。定义偏导矩阵 $\mathbf{D}{T1}, \mathbf{D}{T2}, \mathbf{D}{R1}, \mathbf{D}_{R2}$ 等，可得矩阵形式的梯度表达式：

$$ \mathbf{g}_T = -2\text{Re}{\text{diag}{\boldsymbol{\Gamma}1\mathbf{D}{T1} + \boldsymbol{\Gamma}2\mathbf{D}{T2}}} $$

各 Hessian 块的计算涉及矩阵 $\mathbf{S}$ 和 $\mathbf{C}$ 的分块组合，推导过程较为繁琐，遵循类似逻辑。