数据结构：二叉树基础与链式存储实现

2. 实现思路

与单链表的实现类似，二叉树中的每一个节点有以下三个成员：

1. 节点中存储的数据
2. 指向节点左孩子的指针
3. 指向节点右孩子的指针

3. 代码实现

本文以创建一个 char 类型的二叉树为例。

（1）文件结构设计

在写复杂程序时要养成写多个头文件&源文件的好习惯，这样条理就很清晰也不会乱。

• BTNode.h：存放函数声明和一些库函数的头文件。
• BTNode.c：存放函数的定义（二叉树的主体）。
• Test.c：用于测试实现的二叉树的运行效果。
• Queue.h/c：队列的实现，层序遍历需要用到。

（2）定义二叉树

首先我们要定义一个二叉树。这里之前讲过，创建一个类似链表的结构。每个结点里面包含三个成员。

// 重定义，方便修改类型
typedef char BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode {
    BTDataType data; // 节点中存储的数据
    struct BinaryTreeNode* left; // 指向左孩子的指针
    struct BinaryTreeNode* right; // 指向右孩子的指针
} BTNode;

在定义二叉树的代码中，有两个需要注意的点：

1. 本文是以 char 类型为例，但如果以后要将二叉树中的元素类型修改成 int 类型或是其他类型，一个一个修改就很麻烦。所以我们重定义 char 类型为 BTDataType，并将接下来代码中的 char 类型全部写成 BTDataType。这是为了方便我们以后对类型进行修改，仅需将 char 改为其他类型即可。
2. 在定义二叉树的同时重定义二叉树的变量名为 BTNode，方便以后使用。

（3）构建二叉树

我们需要先有一个二叉树，才能对二叉树进行操作。这里通过一个前序遍历的数组 "ABD##E#H##CF##G##" 来构建了二叉树。关于怎么构建的不重要，大家也可以将一个一个结点进行插入，但这不是重点，重点是之后二叉树的实现。

// 通过前序遍历的数组构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi) {
    if (ch[*pi] == '#') {
        return NULL;
    }
    BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    if (newnode == NULL) {
        perror("malloc fail");
        return NULL;
    }
    newnode->data = ch[(*pi)++];
    newnode->left = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    (*pi)++; // 跳过 '#' 占位符
    newnode->right = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    return newnode;
}

（4）二叉树遍历（前中后序）

要想对二叉树进行操作，肯定少不了遍历二叉树。一共有 4 种：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历。这四种遍历主要在于遍历顺序的不一样。

前序遍历：遍历时先遍历根、接着左子树、最后右子树。注意，这个遍历是递归进行的。当遍历完根后，开始遍历左子树，就以左子树为起始位置，继续从根遍历、接着左子树、最后右子树，以此循环，直到全部遍历结束。

// 二叉树前序遍历
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreePrevOrder(root->left);
    BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

中序遍历：原理与前序遍历一样，只是遍历的顺序不一样。中序遍历是指遍历时先遍历左子树、接着根、最后右子树。

// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreeInOrder(root->left);
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreeInOrder(root->right);
}

后序遍历：原理与前序遍历也一样，只是遍历的顺序不一样。后序遍历是指遍历时先遍历右子树、接着左子树、最后根。

// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreePostOrder(root->left);
    BinaryTreePostOrder(root->right);
    printf("%c ", root->data);
}

（5）二叉树的层序遍历

层序遍历与前三种遍历差了很多。层序遍历就是一层一层的遍历。比如一个二叉树，层序遍历的结果就是【1，2，3，4，5，6，7】。

那又要该怎么写代码呢？我们怎么做到遍历完 1，2，3 后去遍历 4，5 呢？此时也无法直接通过 2 来找到 4，5 了。这时我们可以想到我们之前学过的东西——队列。我们可以在每次取出结点的同时，将该结点的左结点和右结点存储进队列中，直到队列为空。

// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* node = QueueFront(&Q);
        printf("%c ", node->data);
        QueuePop(&Q);
        if (node->left) {
            QueuePush(&Q, node->left);
        }
        if (node->right) {
            QueuePush(&Q, node->right);
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
}

（6）二叉树节点个数的计算

当我们想要用代码来计数二叉树中的所有节点个数，该怎么办呢？其实这很简单，只需要熟悉递归就行了。当根节点为空时，就计 0。而当根节点为非空时，就 + 1 并递归计算其左右子树。

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
    return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

（7）二叉树高度的计算

当我们想要用代码来计数二叉树的高度，该怎么办呢？首先我们要知道二叉树高度是什么，是树中结点的最大层次。而二叉树有左子树以及右子树，故左右子树高度更高的一边 + 1 就是树的高度。

#include <math.h>

// 二叉树高度
int BinaryTreeHight(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    return fmax(BinaryTreeHight(root->left), BinaryTreeHight(root->right)) + 1;
}

（8）二叉树第 k 层节点个数的计算

对于一个满二叉树很简单，套公式就行，但非完全二叉树咋办呢？这里依旧是递归：初始 k，若该层不是目标层次，就 k - 1 并递归左右子树。当根节点为空时，返回 0。当根节点为非空且此时 k == 1 时，返回 1（已经到达第 k 层）。

// 二叉树第 k 层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    if (k == 1) {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

（9）二叉树查找值为 x 的节点

这里依旧是递归：当根节点为空时，返回空。当根节点的值为 X 时，返回根节点的地址。最后找左右子树。但要注意：该函数返回的是地址，故在递归的过程中地址信息不能丢失，要不断返回。可以先判断返回值是否为真，再决定继续递归还是返回数据。

// 二叉树查找值为 x 的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
    if (root == NULL) {
        return NULL;
    }
    if (root->data == x) {
        return root;
    }
    BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
    if (ret1) {
        return ret1;
    }
    BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
    if (ret2) {
        return ret2;
    }
    return NULL;
}

（10）判断二叉树是否是完全二叉树

现在，给你一个树，怎么用代码来判断该树是完全二叉树呢？我们可以用到之前的层序遍历来完成。当层序遍历到空结点时，若之后还有数据则不是完全二叉树。当层序遍历到空结点时，若没有数据则是完全二叉树。

原理就是层序遍历，只不过多加入了一层判断。

// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* node = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (node == NULL) {
            break;
        }
        QueuePush(&Q, node->left);
        QueuePush(&Q, node->right);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* node = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (node != NULL) {
            QueueDestroy(&Q);
            return 0;
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
    return 1;
}

四、完整代码

1. Queue.h

#pragma once
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <assert.h>

typedef int QDataType;

typedef struct QListNode {
    QDataType data;
    struct QListNode* next;
} QNode;

typedef struct Queue {
    QNode* front;
    QNode* tail;
    int size;
} Queue;

void QueueInit(Queue* q);
void QueuePush(Queue* q, QDataType data);
void QueuePop(Queue* q);
QDataType QueueFront(Queue* q);
QDataType QueueBack(Queue* q);
int QueueSize(Queue* q);
int QueueEmpty(Queue* q);
void QueueDestroy(Queue* q);

2. Queue.c

#include "Queue.h"

void QueueInit(Queue* q) {
    assert(q);
    q->front = NULL;
    q->tail = NULL;
    q->size = 0;
}

void QueuePush(Queue* q, QDataType data) {
    assert(q);
    QNode* tmp = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));
    if (tmp == NULL) {
        perror("malloc");
        return;
    }
    tmp->data = data;
    tmp->next = NULL;
    if (q->size == 0) {
        q->front = tmp;
        q->tail = tmp;
    } else {
        q->tail->next = tmp;
        q->tail = tmp;
    }
    q->size++;
}

void QueuePop(Queue* q) {
    assert(q);
    assert(q->size > 0);
    if (q->size == 1) {
        free(q->front);
        q->front = NULL;
        q->tail = NULL;
    } else {
        QNode* del = q->front;
        q->front = q->front->next;
        free(del);
    }
    q->size--;
}

QDataType QueueFront(Queue* q) {
    assert(q);
    assert(q->size > 0);
    return q->front->data;
}

QDataType QueueBack(Queue* q) {
    assert(q);
    assert(q->size > 0);
    return q->tail->data;
}

int QueueSize(Queue* q) {
    assert(q);
    return q->size;
}

int QueueEmpty(Queue* q) {
    assert(q);
    return q->size == 0;
}

void QueueDestroy(Queue* q) {
    assert(q);
    QNode* cur = q->front;
    while (cur) {
        QNode* next = cur->next;
        free(cur);
        cur = next;
    }
    q->front = q->tail = NULL;
    q->size = 0;
}

3. BTNode.h

#pragma once
#include "Queue.h"

typedef char BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode {
    BTDataType data;
    struct BinaryTreeNode* left;
    struct BinaryTreeNode* right;
} BTNode;

BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi);
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
int BinaryTreeHight(BTNode* root);
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
int BinaryTreeComplete(BTNode* root);
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);

4. BTNode.c

#include "BTNode.h"
#include <math.h>

BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi) {
    if (ch[*pi] == '#') {
        return NULL;
    }
    BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    if (newnode == NULL) {
        perror("malloc fail");
        return NULL;
    }
    newnode->data = ch[(*pi)++];
    newnode->left = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    (*pi)++;
    newnode->right = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    return newnode;
}

void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreePrevOrder(root->left);
    BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreeInOrder(root->left);
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreeInOrder(root->right);
}

void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreePostOrder(root->left);
    BinaryTreePostOrder(root->right);
    printf("%c ", root->data);
}

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* node = QueueFront(&Q);
        printf("%c ", node->data);
        QueuePop(&Q);
        if (node->left) {
            QueuePush(&Q, node->left);
        }
        if (node->right) {
            QueuePush(&Q, node->right);
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
}

void BinaryTreeDestory(BTNode** root) {
    if (*root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreeDestory(&(*root)->left);
    BinaryTreeDestory(&(*root)->right);
    free(*root);
    *root = NULL;
}

int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
    return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

int BinaryTreeHight(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    return fmax(BinaryTreeHight(root->left), BinaryTreeHight(root->right)) + 1;
}

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    if (k == 1) {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
    if (root == NULL) {
        return NULL;
    }
    if (root->data == x) {
        return root;
    }
    BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
    if (ret1) {
        return ret1;
    }
    BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
    if (ret2) {
        return ret2;
    }
    return NULL;
}

int BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* node = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (node == NULL) {
            break;
        }
        QueuePush(&Q, node->left);
        QueuePush(&Q, node->right);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* node = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (node != NULL) {
            QueueDestroy(&Q);
            return 0;
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
    return 1;
}

5. Test.c

#include "BTNode.h"

int main() {
    char ch[100] = "ABD##E#H##CF##G##";
    int i = 0;
    BTNode* T = BinaryTreeCreate(ch, &i);

    int ret1 = BinaryTreeSize(T);
    printf("二叉树节点个数：%d\n", ret1);

    int ret2 = BinaryTreeLeafSize(T);
    printf("二叉树叶子节点个数：%d\n", ret2);

    int ret3 = BinaryTreeHight(T);
    printf("二叉树高度：%d\n", ret3);

    int ret4 = BinaryTreeLevelKSize(T, 3);
    printf("二叉树第 k 层节点个数：%d\n", ret4);

    BTNode* ret5 = BinaryTreeFind(T, 'G');
    if (ret5 == NULL) {
        printf("没有找到\n");
    } else {
        printf("存在%c\n", ret5->data);
    }

    int ret6 = BinaryTreeComplete(T);
    if (ret6) {
        printf("是完全二叉树\n");
    } else {
        printf("不是完全二叉树\n");
    }

    printf("\n");
    printf("前序：");
    BinaryTreePrevOrder(T);
    printf("\n");
    printf("中序：");
    BinaryTreeInOrder(T);
    printf("\n");
    printf("后序：");
    BinaryTreePostOrder(T);
    printf("\n");
    printf("层序：");
    BinaryTreeLevelOrder(T);
    printf("\n");

    BinaryTreeDestory(&T);
    return 0;
}

结语

至此，二叉树的基础理论与核心实现已讲解完毕。掌握递归思想与队列配合是理解树形结构的关键。希望这些内容能帮助你更好地应对相关算法题目与实际开发中的需求。