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数据结构：二叉树初阶与实现
数据结构中的二叉树涵盖树的定义、术语及性质。重点介绍二叉树的链式存储实现，包括前序、中序、后序及层序遍历算法。同时提供节点个数、高度、第 k 层节点数计算、值查找及完全二叉树判断等核心操作的代码实现。内容基于 C 语言，使用队列辅助完成层序遍历。
ServerBase25 浏览 一、树是什么？
1. 树的定义
树是一种非线性数据结构，它是由 n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。
有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
除根结点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm，其中每一个集合 Ti(1<= i <= m) 又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继。
2. 一些常见术语
- 结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度。
- 叶结点或终端结点：度为 0 的结点称为叶结点。
- 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点。
- 子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点。
- 树的高度或深度：树中结点的最大层次。
二、二叉树
1. 二叉树是什么？
二叉树就是一种特殊的树，其树的度最大为 2。也就是说，一个结点最多有两个分叉。在日常生活中，由于树的结构复杂很少用，所以最实用的是二叉树，其只有最多两个分叉。
2. 二叉树的组成
二叉树由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。且注意二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
3. 特殊的二叉树
- 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K，且结点总数是 2^K - 1，则它就是满二叉树。
- 完全二叉树：对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。
完全二叉树的编号是连续的，中间断开则不是完全二叉树。
4. 二叉树的顺序存储（完全二叉树）
对于一个完全二叉树的存储，前面也提到完全二叉树的编号是连续的。所以，对于完全二叉树来说，我们可以用数组来进行存储，用下标来进行编号。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，而在逻辑上是一颗二叉树。
5. 二叉树的一些性质
- 若规定根结点的层数为 1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点。
- 若规定根结点的层数为 1，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h - 1。
- 对任何一棵二叉树，如果度为 0 其叶结点个数为 n₀，度为 2 的分支结点个数为 n₂，则有 n₀ = n₂ + 1。
- 若规定根结点的层数为 1，具有 n 个结点的满二叉树的深度，h = log₂(n + 1)。
对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从 0 开始编号：
- 若父亲在数组中下标为 i，则该父亲的左孩子下标为 2 * i + 1；右孩子下标为 2 * i + 2。
- 若孩子在数组中下标为 i，则该孩子的父亲下标为 (i - 1) / 2。
注意：前提是这些下标所对应的值存在！
三、二叉树的实现（重点）
1. 二叉树的链式存储（非完全二叉树）
前面我们说到存储完全二叉树可以用数组来进行，是因为完全二叉树的编号是连续的。而非完全二叉树却不是如此，若强行用数组来存储会浪费大量的空间。
除了数组，我们还可以用链式存储。链式存储顾名思义，就是用链表来表示一颗二叉树，用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法创建一链表，使每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域。左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在结点的地址。
2. 实现思路
与单链表的实现类似，二叉树中的每一个节点有以下三个成员：
- 节点中存储的数据
- 指向节点左孩子的指针
- 指向节点右孩子的指针
3. 代码实现
本文以创建一个 char 类型的二叉树为例。
（1）文件结构
BTNode.h：用于存放函数的声明和一些库函数的头文件。BTNode.c：用于放函数的定义（二叉树的主体）。Test.c：用于测试实现的二叉树的运行效果。
（2）定义二叉树
typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode {
BTDataType data;
struct BinaryTreeNode* left;
struct BinaryTreeNode* right;
} BTNode;
- 本文是以 char 类型为例，但如果以后要将二叉树中的元素类型修改成 int 类型或是其他一个一个修改就很麻烦。所以我们重定义 char 类型为 BTDataType，并将接下来代码中的 char 类型全部写成 BTDataType。这是为了方便我们以后对类型进行修改，仅需将 char 改为其他类型即可。
- 在定义二叉树的同时重定义二叉树的变量名为 BTNode 方便以后使用。
（3）构建二叉树
通过一个前序遍历的数组 "ABD##E#H##CF##G##" 来构建了二叉树。要先有一个二叉树，才能对二叉树进行操作。
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi) {
if (ch[*pi] == '#') {
return NULL;
}
BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (newnode == NULL) {
perror("malloc fail");
return NULL;
}
newnode->data = ch[(*pi)++];
newnode->left = BinaryTreeCreate(ch, pi);
(*pi)++;
newnode->right = BinaryTreeCreate(ch, pi);
return newnode;
}
（4）二叉树遍历（前中后序）
要想对二叉树进行操作，肯定少不了遍历二叉树。一共有 4 种：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历。这四种遍历主要在于遍历顺序的不一样。
- 前序遍历：遍历时先遍历根、接着左子树、最后右子树。递归进行。
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return;
}
printf("%c ", root->data);
BinaryTreePrevOrder(root->left);
BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
- 中序遍历：遍历时先遍历左子树、接着根、最后右子树。
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return;
}
BinaryTreeInOrder(root->left);
printf("%c ", root->data);
BinaryTreeInOrder(root->right);
}
- 后序遍历：遍历时先遍历右子树、接着左子树、最后根。
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return;
}
BinaryTreePostOrder(root->left);
BinaryTreePostOrder(root->right);
printf("%c ", root->data);
}
（5）二叉树的层序遍历
思路：每次取出结点的同时，将该结点的左结点和右结点存储进队列中，直到队列为空。
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
Queue Q;
QueueInit(&Q);
if (root) {
QueuePush(&Q, root);
}
while (!QueueEmpty(&Q)) {
BTNode* root = QueueFront(&Q);
printf("%c ", root->data);
QueuePop(&Q);
if (root->left) {
QueuePush(&Q, root->left);
}
if (root->right) {
QueuePush(&Q, root->right);
}
}
QueueDestroy(&Q);
}
（6）二叉树节点个数的计算
int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}
（7）二叉树高度的计算
int BinaryTreeHight(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return 0;
}
return fmax(BinaryTreeHight(root->left), BinaryTreeHight(root->right)) + 1;
}
（8）二叉树第 k 层节点个数的计算
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
if (root == NULL) {
return 0;
}
if (k == 1) {
return 1;
}
return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}
（9）二叉树查找值为 x 的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
if (root == NULL) {
return NULL;
}
if (root->data == x) {
return root;
}
BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
if (ret1) {
return ret1;
}
BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
if (ret2) {
return ret2;
}
return NULL;
}
（10）判断二叉树是否是完全二叉树
原理是层序遍历，只不过多加入了一层判断。当层序遍历到空结点时，若之后还有数据则不是完全二叉树。
int BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
Queue Q;
QueueInit(&Q);
if (root) {
QueuePush(&Q, root);
}
while (!QueueEmpty(&Q)) {
BTNode* root = QueueFront(&Q);
QueuePop(&Q);
if (root == NULL) {
break;
}
QueuePush(&Q, root->left);
QueuePush(&Q, root->right);
}
while (!QueueEmpty(&Q)) {
BTNode* root = QueueFront(&Q);
QueuePop(&Q);
if (root != NULL) {
QueueDestroy(&Q);
return 0;
}
}
QueueDestroy(&Q);
return 1;
}
四、二叉树实现完整代码
1. Queue.h
#pragma once
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <assert.h>
typedef int QDataType;
typedef struct QListNode {
QDataType data;
struct QListNode* next;
} QNode;
typedef struct Queue {
QNode* front;
QNode* tail;
int size;
} Queue;
void QueueInit(Queue* q);
void QueuePush(Queue* q, QDataType data);
void QueuePop(Queue* q);
QDataType QueueFront(Queue* q);
QDataType QueueBack(Queue* q);
int QueueSize(Queue* q);
int QueueEmpty(Queue* q);
void QueueDestroy(Queue* q);
2. Queue.c
#include "Queue.h"
void QueueInit(Queue* q) {
assert(q);
q->front = NULL;
q->tail = NULL;
q->size = 0;
}
void QueuePush(Queue* q, QDataType data) {
assert(q);
QNode* tmp = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));
if (tmp == NULL) {
perror("malloc");
return;
}
tmp->data = data;
tmp->next = NULL;
if (q->size == 0) {
q->front = tmp;
q->tail = tmp;
} else {
q->tail->next = tmp;
q->tail = tmp;
}
q->size++;
}
void QueuePop(Queue* q) {
assert(q);
assert(q->size > 0);
if (q->size == 1) {
free(q->front);
q->front = NULL;
q->tail = NULL;
} else {
QNode* del = q->front;
q->front = q->front->next;
free(del);
}
q->size--;
}
QDataType QueueFront(Queue* q) {
assert(q);
assert(q->size > 0);
return q->front->data;
}
QDataType QueueBack(Queue* q) {
assert(q);
assert(q->size > 0);
return q->tail->data;
}
int QueueSize(Queue* q) {
assert(q);
return q->size;
}
int QueueEmpty(Queue* q) {
assert(q);
return q->size == 0;
}
void QueueDestroy(Queue* q) {
assert(q);
QNode* cur = q->front;
while (cur) {
QNode* next = cur->next;
free(cur);
cur = next;
}
q->front = q->tail = NULL;
q->size = 0;
}
3. BTNode.h
#pragma once
#include "Queue.h"
typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode {
BTDataType data;
struct BinaryTreeNode* left;
struct BinaryTreeNode* right;
} BTNode;
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi);
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
int BinaryTreeHight(BTNode* root);
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
int BinaryTreeComplete(BTNode* root);
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);
4. BTNode.c
#include "BTNode.h"
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi) {
if (ch[*pi] == '#') {
return NULL;
}
BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (newnode == NULL) {
perror("malloc fail");
return NULL;
}
newnode->data = ch[(*pi)++];
newnode->left = BinaryTreeCreate(ch, pi);
(*pi)++;
newnode->right = BinaryTreeCreate(ch, pi);
return newnode;
}
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return;
}
printf("%c ", root->data);
BinaryTreePrevOrder(root->left);
BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return;
}
BinaryTreeInOrder(root->left);
printf("%c ", root->data);
BinaryTreeInOrder(root->right);
}
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return;
}
BinaryTreePostOrder(root->left);
BinaryTreePostOrder(root->right);
printf("%c ", root->data);
}
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
Queue Q;
QueueInit(&Q);
if (root) {
QueuePush(&Q, root);
}
while (!QueueEmpty(&Q)) {
BTNode* root = QueueFront(&Q);
printf("%c ", root->data);
QueuePop(&Q);
if (root->left) {
QueuePush(&Q, root->left);
}
if (root->right) {
QueuePush(&Q, root->right);
}
}
QueueDestroy(&Q);
}
void BinaryTreeDestory(BTNode** root) {
if (*root == NULL) {
return;
}
BinaryTreeDestory(&(*root)->left);
BinaryTreeDestory(&(*root)->right);
free(*root);
*root = NULL;
}
int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return 0;
}
if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
return 1;
}
return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}
int BinaryTreeHight(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return 0;
}
return fmax(BinaryTreeHight(root->left), BinaryTreeHight(root->right)) + 1;
}
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
if (root == NULL) {
return 0;
}
if (k == 1) {
return 1;
}
return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
if (root == NULL) {
return NULL;
}
if (root->data == x) {
return root;
}
BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
if (ret1) {
return ret1;
}
BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
if (ret2) {
return ret2;
}
return NULL;
}
int BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
Queue Q;
QueueInit(&Q);
if (root) {
QueuePush(&Q, root);
}
while (!QueueEmpty(&Q)) {
BTNode* root = QueueFront(&Q);
QueuePop(&Q);
if (root == NULL) {
break;
}
QueuePush(&Q, root->left);
QueuePush(&Q, root->right);
}
while (!QueueEmpty(&Q)) {
BTNode* root = QueueFront(&Q);
QueuePop(&Q);
if (root != NULL) {
QueueDestroy(&Q);
return 0;
}
}
QueueDestroy(&Q);
return 1;
}
5. Test.c
#include "BTNode.h"
int main() {
char ch[100] = "ABD##E#H##CF##G##";
int i = 0;
BTNode* T = BinaryTreeCreate(ch, &i);
int ret1 = BinaryTreeSize(T);
printf("二叉树节点个数：%d\n", ret1);
int ret2 = BinaryTreeLeafSize(T);
printf("二叉树叶子节点个数：%d\n", ret2);
int ret3 = BinaryTreeHight(T);
printf("二叉树高度：%d\n", ret3);
int ret4 = BinaryTreeLevelKSize(T, 3);
printf("二叉树第 k 层节点个数：%d\n", ret4);
BTNode* ret5 = BinaryTreeFind(T, 'G');
if (ret5 == NULL) {
printf("没有找到\n");
} else {
printf("存在%c\n", ret5->data);
}
int ret6 = BinaryTreeComplete(T);
if (ret6) {
printf("是完全二叉树\n");
} else {
printf("不是完全二叉树\n");
}
printf("\n");
printf("前序：");
BinaryTreePrevOrder(T);
printf("\n");
printf("中序：");
BinaryTreeInOrder(T);
printf("\n");
printf("后序：");
BinaryTreePostOrder(T);
printf("\n");
printf("层序：");
BinaryTreeLevelOrder(T);
printf("\n");
BinaryTreeDestory(&T);
return 0;
}
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