数据结构中的二叉树涵盖树的定义、术语及性质。重点介绍二叉树的链式存储实现，包括前序、中序、后序及层序遍历算法。同时提供节点个数、高度、第 k 层节点数计算、值查找及完全二叉树判断等核心操作的代码实现。内容基于 C 语言，使用队列辅助完成层序遍历。
树是一种非线性数据结构，它是由 n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。 除根结点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm，其中每一个集合 Ti(1<= i <= m) 又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继。
二叉树就是一种特殊的树，其树的度最大为 2。也就是说，一个结点最多有两个分叉。在日常生活中，由于树的结构复杂很少用，所以最实用的是二叉树，其只有最多两个分叉。
二叉树由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。且注意二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
完全二叉树的编号是连续的，中间断开则不是完全二叉树。
对于一个完全二叉树的存储，前面也提到完全二叉树的编号是连续的。所以，对于完全二叉树来说，我们可以用数组来进行存储，用下标来进行编号。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，而在逻辑上是一颗二叉树。
对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从 0 开始编号：
前面我们说到存储完全二叉树可以用数组来进行，是因为完全二叉树的编号是连续的。而非完全二叉树却不是如此，若强行用数组来存储会浪费大量的空间。
除了数组，我们还可以用链式存储。链式存储顾名思义，就是用链表来表示一颗二叉树，用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法创建一链表，使每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域。左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在结点的地址。
与单链表的实现类似，二叉树中的每一个节点有以下三个成员：
本文以创建一个 char 类型的二叉树为例。
BTNode.h：用于存放函数的声明和一些库函数的头文件。BTNode.c：用于放函数的定义（二叉树的主体）。Test.c：用于测试实现的二叉树的运行效果。// 重定义，方便修改类型
typedef char BTDataType;
// 表示每个节点的类型
typedef struct BinaryTreeNode {
BTDataType data; // 节点中存储的数据
struct BinaryTreeNode* left; // 指向左孩子的指针
struct BinaryTreeNode* right; // 指向右孩子的指针
} BTNode;
在定义二叉树的代码中，有两个需要注意的点：
通过一个前序遍历的数组 "ABD##E#H##CF##G##" 来构建了二叉树。要先有一个二叉树，才能对二叉树进行操作。
// 通过前序遍历的数组构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi) {
if (ch[*pi] == '#') {
return NULL;
}
BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (newnode == NULL) {
perror("malloc fail");
return NULL;
}
newnode->data = ch[(*pi)++];
newnode->left = BinaryTreeCreate(ch, pi);
(*pi)++;
newnode->right = BinaryTreeCreate(ch, pi);
return newnode;
}
要想对二叉树进行操作，肯定少不了遍历二叉树。一共有 4 种：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历。这四种遍历主要在于遍历顺序的不一样。
// 二叉树前序遍历
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return;
}
printf("%c ", root->data);
BinaryTreePrevOrder(root->left);
BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return;
}
BinaryTreeInOrder(root->left);
printf("%c ", root->data);
BinaryTreeInOrder(root->right);
}
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return;
}
BinaryTreePostOrder(root->left);
BinaryTreePostOrder(root->right);
printf("%c ", root->data);
}
层序遍历是一层一层地遍历。需要使用队列来实现。
思路：每次取出结点的同时，将该结点的左结点和右结点存储进队列中，直到队列为空。
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
Queue Q;
QueueInit(&Q);
if (root) {
QueuePush(&Q, root);
}
while (!QueueEmpty(&Q)) {
BTNode* root = QueueFront(&Q);
printf("%c ", root->data);
QueuePop(&Q);
if (root->left) {
QueuePush(&Q, root->left);
}
if (root->right) {
QueuePush(&Q, root->right);
}
}
QueueDestroy(&Q);
}
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}
// 二叉树高度
int BinaryTreeHight(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return 0;
}
return fmax(BinaryTreeHight(root->left), BinaryTreeHight(root->right)) + 1;
}
// 二叉树第 k 层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
if (root == NULL) {
return 0;
}
if (k == 1) {
return 1;
}
return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}
// 二叉树查找值为 x 的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
if (root == NULL) {
return NULL;
}
if (root->data == x) {
return root;
}
BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
if (ret1) {
return ret1;
}
BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
if (ret2) {
return ret2;
}
return NULL;
}
原理是层序遍历，只不过多加入了一层判断。当层序遍历到空结点时，若之后还有数据则不是完全二叉树。
// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
Queue Q;
QueueInit(&Q);
if (root) {
QueuePush(&Q, root);
}
while (!QueueEmpty(&Q)) {
BTNode* root = QueueFront(&Q);
QueuePop(&Q);
if (root == NULL) {
break;
}
QueuePush(&Q, root->left);
QueuePush(&Q, root->right);
}
while (!QueueEmpty(&Q)) {
BTNode* root = QueueFront(&Q);
QueuePop(&Q);
if (root != NULL) {
QueueDestroy(&Q);
return 0;
}
}
QueueDestroy(&Q);
return 1;
}
#pragma once
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <assert.h>
typedef int QDataType;
typedef struct QListNode {
QDataType data;
struct QListNode* next;
} QNode;
typedef struct Queue {
QNode* front;
QNode* tail;
int size;
} Queue;
void QueueInit(Queue* q);
void QueuePush(Queue* q, QDataType data);
void QueuePop(Queue* q);
QDataType QueueFront(Queue* q);
QDataType QueueBack(Queue* q);
int QueueSize(Queue* q);
int QueueEmpty(Queue* q);
void QueueDestroy(Queue* q);
#include "Queue.h"
void QueueInit(Queue* q) {
assert(q);
q->front = NULL;
q->tail = NULL;
q->size = 0;
}
void QueuePush(Queue* q, QDataType data) {
assert(q);
QNode* tmp = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));
if (tmp == NULL) {
perror("malloc");
return;
}
tmp->data = data;
tmp->next = NULL;
if (q->size == 0) {
q->front = tmp;
q->tail = tmp;
} else {
q->tail->next = tmp;
q->tail = tmp;
}
q->size++;
}
void QueuePop(Queue* q) {
assert(q);
assert(q->size > 0);
if (q->size == 1) {
free(q->front);
q->front = NULL;
q->tail = NULL;
} else {
QNode* del = q->front;
q->front = q->front->next;
free(del);
}
q->size--;
}
QDataType QueueFront(Queue* q) {
assert(q);
assert(q->size > 0);
return q->front->data;
}
QDataType QueueBack(Queue* q) {
assert(q);
assert(q->size > 0);
return q->tail->data;
}
int QueueSize(Queue* q) {
assert(q);
return q->size;
}
int QueueEmpty(Queue* q) {
assert(q);
return q->size == 0;
}
void QueueDestroy(Queue* q) {
assert(q);
QNode* cur = q->front;
while (cur) {
QNode* next = cur->next;
free(cur);
cur = next;
}
q->front = q->tail = NULL;
q->size = 0;
}
#pragma once
#include "Queue.h"
typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode {
BTDataType data;
struct BinaryTreeNode* left;
struct BinaryTreeNode* right;
} BTNode;
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi);
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
int BinaryTreeHight(BTNode* root);
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
int BinaryTreeComplete(BTNode* root);
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);
#include "BTNode.h"
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi) {
if (ch[*pi] == '#') {
return NULL;
}
BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (newnode == NULL) {
perror("malloc fail");
return NULL;
}
newnode->data = ch[(*pi)++];
newnode->left = BinaryTreeCreate(ch, pi);
(*pi)++;
newnode->right = BinaryTreeCreate(ch, pi);
return newnode;
}
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return;
}
printf("%c ", root->data);
BinaryTreePrevOrder(root->left);
BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return;
}
BinaryTreeInOrder(root->left);
printf("%c ", root->data);
BinaryTreeInOrder(root->right);
}
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return;
}
BinaryTreePostOrder(root->left);
BinaryTreePostOrder(root->right);
printf("%c ", root->data);
}
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
Queue Q;
QueueInit(&Q);
if (root) {
QueuePush(&Q, root);
}
while (!QueueEmpty(&Q)) {
BTNode* root = QueueFront(&Q);
printf("%c ", root->data);
QueuePop(&Q);
if (root->left) {
QueuePush(&Q, root->left);
}
if (root->right) {
QueuePush(&Q, root->right);
}
}
QueueDestroy(&Q);
}
void BinaryTreeDestory(BTNode** root) {
if (*root == NULL) {
return;
}
BinaryTreeDestory(&(*root)->left);
BinaryTreeDestory(&(*root)->right);
free(*root);
*root = NULL;
}
int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return 0;
}
if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
return 1;
}
return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}
int BinaryTreeHight(BTNode* root) {
if (root == NULL) {
return 0;
}
return fmax(BinaryTreeHight(root->left), BinaryTreeHight(root->right)) + 1;
}
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
if (root == NULL) {
return 0;
}
if (k == 1) {
return 1;
}
return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
if (root == NULL) {
return NULL;
}
if (root->data == x) {
return root;
}
BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
if (ret1) {
return ret1;
}
BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
if (ret2) {
return ret2;
}
return NULL;
}
int BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
Queue Q;
QueueInit(&Q);
if (root) {
QueuePush(&Q, root);
}
while (!QueueEmpty(&Q)) {
BTNode* root = QueueFront(&Q);
QueuePop(&Q);
if (root == NULL) {
break;
}
QueuePush(&Q, root->left);
QueuePush(&Q, root->right);
}
while (!QueueEmpty(&Q)) {
BTNode* root = QueueFront(&Q);
QueuePop(&Q);
if (root != NULL) {
QueueDestroy(&Q);
return 0;
}
}
QueueDestroy(&Q);
return 1;
}
#include "BTNode.h"
int main() {
char ch[100] = "ABD##E#H##CF##G##";
int i = 0;
BTNode* T = BinaryTreeCreate(ch, &i);
int ret1 = BinaryTreeSize(T);
printf("二叉树节点个数：%d\n", ret1);
int ret2 = BinaryTreeLeafSize(T);
printf("二叉树叶子节点个数：%d\n", ret2);
int ret3 = BinaryTreeHight(T);
printf("二叉树高度：%d\n", ret3);
int ret4 = BinaryTreeLevelKSize(T, 3);
printf("二叉树第 k 层节点个数：%d\n", ret4);
BTNode* ret5 = BinaryTreeFind(T, 'G');
if (ret5 == NULL) {
printf("没有找到\n");
} else {
printf("存在%c\n", ret5->data);
}
int ret6 = BinaryTreeComplete(T);
if (ret6) {
printf("是完全二叉树\n");
} else {
printf("不是完全二叉树\n");
}
printf("\n");
printf("前序：");
BinaryTreePrevOrder(T);
printf("\n");
printf("中序：");
BinaryTreeInOrder(T);
printf("\n");
printf("后序：");
BinaryTreePostOrder(T);
printf("\n");
printf("层序：");
BinaryTreeLevelOrder(T);
printf("\n");
BinaryTreeDestory(&T);
return 0;
}
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