数据结构：二叉树初阶与实现

一、树是什么？

1. 树的定义

树是一种非线性数据结构，它是由 n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。 除根结点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm，其中每一个集合 Ti(1<= i <= m) 又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继。

2. 一些常见术语

• 结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度。
• 叶结点或终端结点：度为 0 的结点称为叶结点。
• 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点。
• 子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点。
• 树的高度或深度：树中结点的最大层次。

二、二叉树

1. 二叉树是什么？

二叉树就是一种特殊的树，其树的度最大为 2。也就是说，一个结点最多有两个分叉。在日常生活中，由于树的结构复杂很少用，所以最实用的是二叉树，其只有最多两个分叉。

2. 二叉树的组成

二叉树由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。且注意二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

3. 特殊的二叉树

• 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K，且结点总数是 2^K - 1，则它就是满二叉树。
• 完全二叉树：对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。

完全二叉树的编号是连续的，中间断开则不是完全二叉树。

4. 二叉树的顺序存储（完全二叉树）

对于一个完全二叉树的存储，前面也提到完全二叉树的编号是连续的。所以，对于完全二叉树来说，我们可以用数组来进行存储，用下标来进行编号。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，而在逻辑上是一颗二叉树。

5. 二叉树的一些性质

1. 若规定根结点的层数为 1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点。
2. 若规定根结点的层数为 1，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h - 1。
3. 对任何一棵二叉树，如果度为 0 其叶结点个数为 n₀，度为 2 的分支结点个数为 n₂，则有 n₀ = n₂ + 1。
4. 若规定根结点的层数为 1，具有 n 个结点的满二叉树的深度，h = log₂(n + 1)。

对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从 0 开始编号：

• 若父亲在数组中下标为 i，则该父亲的左孩子下标为 2 * i + 1；右孩子下标为 2 * i + 2。
• 若孩子在数组中下标为 i，则该孩子的父亲下标为 (i - 1) / 2。 注意：前提是这些下标所对应的值存在！

三、二叉树的实现（重点）

1. 二叉树的链式存储（非完全二叉树）

前面我们说到存储完全二叉树可以用数组来进行，是因为完全二叉树的编号是连续的。而非完全二叉树却不是如此，若强行用数组来存储会浪费大量的空间。

除了数组，我们还可以用链式存储。链式存储顾名思义，就是用链表来表示一颗二叉树，用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法创建一链表，使每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域。左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在结点的地址。

2. 实现思路

与单链表的实现类似，二叉树中的每一个节点有以下三个成员：

1. 节点中存储的数据
2. 指向节点左孩子的指针
3. 指向节点右孩子的指针

3. 代码实现

本文以创建一个 char 类型的二叉树为例。

（1）文件结构

• BTNode.h：用于存放函数的声明和一些库函数的头文件。
• BTNode.c：用于放函数的定义（二叉树的主体）。
• Test.c：用于测试实现的二叉树的运行效果。

（2）定义二叉树

// 重定义，方便修改类型
typedef char BTDataType;

// 表示每个节点的类型
typedef struct BinaryTreeNode {
    BTDataType data; // 节点中存储的数据
    struct BinaryTreeNode* left; // 指向左孩子的指针
    struct BinaryTreeNode* right; // 指向右孩子的指针
} BTNode;

在定义二叉树的代码中，有两个需要注意的点：

1. 本文是以 char 类型为例，但如果以后要将二叉树中的元素类型修改成 int 类型或是其他一个一个修改就很麻烦。所以我们重定义 char 类型为 BTDataType，并将接下来代码中的 char 类型全部写成 BTDataType。这是为了方便我们以后对类型进行修改，仅需将 char 改为其他类型即可。
2. 在定义二叉树的同时重定义二叉树的变量名为 BTNode 方便以后使用。

（3）构建二叉树

通过一个前序遍历的数组 "ABD##E#H##CF##G##" 来构建了二叉树。要先有一个二叉树，才能对二叉树进行操作。

// 通过前序遍历的数组构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi) {
    if (ch[*pi] == '#') {
        return NULL;
    }
    BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    if (newnode == NULL) {
        perror("malloc fail");
        return NULL;
    }
    newnode->data = ch[(*pi)++];
    newnode->left = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    (*pi)++;
    newnode->right = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    return newnode;
}

（4）二叉树遍历（前中后序）

要想对二叉树进行操作，肯定少不了遍历二叉树。一共有 4 种：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历。这四种遍历主要在于遍历顺序的不一样。

• 前序遍历：遍历时先遍历根、接着左子树、最后右子树。递归进行。

// 二叉树前序遍历
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreePrevOrder(root->left);
    BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

• 中序遍历：遍历时先遍历左子树、接着根、最后右子树。

// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreeInOrder(root->left);
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreeInOrder(root->right);
}

• 后序遍历：遍历时先遍历右子树、接着左子树、最后根。

// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreePostOrder(root->left);
    BinaryTreePostOrder(root->right);
    printf("%c ", root->data);
}

（5）二叉树的层序遍历

层序遍历是一层一层地遍历。需要使用队列来实现。

思路：每次取出结点的同时，将该结点的左结点和右结点存储进队列中，直到队列为空。

// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* root = QueueFront(&Q);
        printf("%c ", root->data);
        QueuePop(&Q);
        if (root->left) {
            QueuePush(&Q, root->left);
        }
        if (root->right) {
            QueuePush(&Q, root->right);
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
}

（6）二叉树节点个数的计算

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
    return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

（7）二叉树高度的计算

// 二叉树高度
int BinaryTreeHight(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    return fmax(BinaryTreeHight(root->left), BinaryTreeHight(root->right)) + 1;
}

（8）二叉树第 k 层节点个数的计算

// 二叉树第 k 层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    if (k == 1) {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

（9）二叉树查找值为 x 的节点

// 二叉树查找值为 x 的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
    if (root == NULL) {
        return NULL;
    }
    if (root->data == x) {
        return root;
    }
    BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
    if (ret1) {
        return ret1;
    }
    BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
    if (ret2) {
        return ret2;
    }
    return NULL;
}

（10）判断二叉树是否是完全二叉树

原理是层序遍历，只不过多加入了一层判断。当层序遍历到空结点时，若之后还有数据则不是完全二叉树。

// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* root = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (root == NULL) {
            break;
        }
        QueuePush(&Q, root->left);
        QueuePush(&Q, root->right);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* root = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (root != NULL) {
            QueueDestroy(&Q);
            return 0;
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
    return 1;
}

四、二叉树实现完整代码

1. Queue.h

#pragma once
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <assert.h>

typedef int QDataType;

typedef struct QListNode {
    QDataType data;
    struct QListNode* next;
} QNode;

typedef struct Queue {
    QNode* front;
    QNode* tail;
    int size;
} Queue;

void QueueInit(Queue* q);
void QueuePush(Queue* q, QDataType data);
void QueuePop(Queue* q);
QDataType QueueFront(Queue* q);
QDataType QueueBack(Queue* q);
int QueueSize(Queue* q);
int QueueEmpty(Queue* q);
void QueueDestroy(Queue* q);

2. Queue.c

#include "Queue.h"

void QueueInit(Queue* q) {
    assert(q);
    q->front = NULL;
    q->tail = NULL;
    q->size = 0;
}

void QueuePush(Queue* q, QDataType data) {
    assert(q);
    QNode* tmp = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));
    if (tmp == NULL) {
        perror("malloc");
        return;
    }
    tmp->data = data;
    tmp->next = NULL;
    if (q->size == 0) {
        q->front = tmp;
        q->tail = tmp;
    } else {
        q->tail->next = tmp;
        q->tail = tmp;
    }
    q->size++;
}

void QueuePop(Queue* q) {
    assert(q);
    assert(q->size > 0);
    if (q->size == 1) {
        free(q->front);
        q->front = NULL;
        q->tail = NULL;
    } else {
        QNode* del = q->front;
        q->front = q->front->next;
        free(del);
    }
    q->size--;
}

QDataType QueueFront(Queue* q) {
    assert(q);
    assert(q->size > 0);
    return q->front->data;
}

QDataType QueueBack(Queue* q) {
    assert(q);
    assert(q->size > 0);
    return q->tail->data;
}

int QueueSize(Queue* q) {
    assert(q);
    return q->size;
}

int QueueEmpty(Queue* q) {
    assert(q);
    return q->size == 0;
}

void QueueDestroy(Queue* q) {
    assert(q);
    QNode* cur = q->front;
    while (cur) {
        QNode* next = cur->next;
        free(cur);
        cur = next;
    }
    q->front = q->tail = NULL;
    q->size = 0;
}

3. BTNode.h

#pragma once
#include "Queue.h"

typedef char BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode {
    BTDataType data;
    struct BinaryTreeNode* left;
    struct BinaryTreeNode* right;
} BTNode;

BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi);
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
int BinaryTreeHight(BTNode* root);
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
int BinaryTreeComplete(BTNode* root);
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);

4. BTNode.c

#include "BTNode.h"

BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* ch, int* pi) {
    if (ch[*pi] == '#') {
        return NULL;
    }
    BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    if (newnode == NULL) {
        perror("malloc fail");
        return NULL;
    }
    newnode->data = ch[(*pi)++];
    newnode->left = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    (*pi)++;
    newnode->right = BinaryTreeCreate(ch, pi);
    return newnode;
}

void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreePrevOrder(root->left);
    BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreeInOrder(root->left);
    printf("%c ", root->data);
    BinaryTreeInOrder(root->right);
}

void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreePostOrder(root->left);
    BinaryTreePostOrder(root->right);
    printf("%c ", root->data);
}

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* root = QueueFront(&Q);
        printf("%c ", root->data);
        QueuePop(&Q);
        if (root->left) {
            QueuePush(&Q, root->left);
        }
        if (root->right) {
            QueuePush(&Q, root->right);
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
}

void BinaryTreeDestory(BTNode** root) {
    if (*root == NULL) {
        return;
    }
    BinaryTreeDestory(&(*root)->left);
    BinaryTreeDestory(&(*root)->right);
    free(*root);
    *root = NULL;
}

int BinaryTreeSize(BTNode* root) {
    return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    if (root->left == NULL && root->right == NULL) {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

int BinaryTreeHight(BTNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    return fmax(BinaryTreeHight(root->left), BinaryTreeHight(root->right)) + 1;
}

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {
    if (root == NULL) {
        return 0;
    }
    if (k == 1) {
        return 1;
    }
    return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {
    if (root == NULL) {
        return NULL;
    }
    if (root->data == x) {
        return root;
    }
    BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
    if (ret1) {
        return ret1;
    }
    BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
    if (ret2) {
        return ret2;
    }
    return NULL;
}

int BinaryTreeComplete(BTNode* root) {
    Queue Q;
    QueueInit(&Q);
    if (root) {
        QueuePush(&Q, root);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* root = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (root == NULL) {
            break;
        }
        QueuePush(&Q, root->left);
        QueuePush(&Q, root->right);
    }
    while (!QueueEmpty(&Q)) {
        BTNode* root = QueueFront(&Q);
        QueuePop(&Q);
        if (root != NULL) {
            QueueDestroy(&Q);
            return 0;
        }
    }
    QueueDestroy(&Q);
    return 1;
}

5. Test.c

#include "BTNode.h"

int main() {
    char ch[100] = "ABD##E#H##CF##G##";
    int i = 0;
    BTNode* T = BinaryTreeCreate(ch, &i);

    int ret1 = BinaryTreeSize(T);
    printf("二叉树节点个数：%d\n", ret1);

    int ret2 = BinaryTreeLeafSize(T);
    printf("二叉树叶子节点个数：%d\n", ret2);

    int ret3 = BinaryTreeHight(T);
    printf("二叉树高度：%d\n", ret3);

    int ret4 = BinaryTreeLevelKSize(T, 3);
    printf("二叉树第 k 层节点个数：%d\n", ret4);

    BTNode* ret5 = BinaryTreeFind(T, 'G');
    if (ret5 == NULL) {
        printf("没有找到\n");
    } else {
        printf("存在%c\n", ret5->data);
    }

    int ret6 = BinaryTreeComplete(T);
    if (ret6) {
        printf("是完全二叉树\n");
    } else {
        printf("不是完全二叉树\n");
    }

    printf("\n");
    printf("前序：");
    BinaryTreePrevOrder(T);
    printf("\n");
    printf("中序：");
    BinaryTreeInOrder(T);
    printf("\n");
    printf("后序：");
    BinaryTreePostOrder(T);
    printf("\n");
    printf("层序：");
    BinaryTreeLevelOrder(T);
    printf("\n");

    BinaryTreeDestory(&T);
    return 0;
}