数据结构：二叉树与堆的结构及实现

1.4 树在实际中的运用

树在实际中常用于表示文件系统的目录树结构。

2. 二叉树概念及结构

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于 2 的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的。

2.2 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K，且结点总数是 2^k-1，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为 1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点.
2. 若规定根结点的层数为 1，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2^h-1 .
3. 对任何一棵二叉树，如果度为 0 其叶结点个数为 n，度为 2 的分支结点个数为 m，则有 n＝m＋1
4. 若规定根结点的层数为 1，具有 n 个结点的满二叉树的深度，h= log(n+1) 底数默认为 2
5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从 0 开始编号，则对于序号为 i 的结点有：
   • 若 i>0，i 位置结点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i 为根结点编号，无双亲结点
   • 若 2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n 否则无左孩子
   • 若 2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n 否则无右孩子

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

3. 二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆 (一种二叉树) 使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2 堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合 K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足： <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0，1，2…，则称为小堆 (或大堆)。将根结点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根结点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

• 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；
• 堆总是一棵完全二叉树。

大堆跟小堆都是完全二叉树。

• 大堆：所有的父亲>=儿子 根节点最大
• 小堆：所有的父亲<=儿子 根节点最小

3.3 堆的实现

同样使用多文件操作，Heap.h 用来放函数的声明，Heap.c 放函数的实现，test.c 用来测试。

1. 定义一个堆

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap {
    HPDataType* a;
    int size;
    int capacity;
} HP;

2. 初始化

void HPInit(HP* php) {
    assert(php);
    php->a = NULL;
    php->capacity = php->size = 0;
}

3. 销毁

void HPDestroy(HP* php) {
    assert(php);
    free(php->a);
    php->a = NULL;
    php->capacity = php->size = 0;
}

4. 向上调整

void AdjustUp(HPDataType* a, int child) {
    int parent = (child - 1) / 2;
    while (child > 0) {
        if (a[child] < a[parent]) {
            Swap(&a[child], &a[parent]);
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 2; // 去找原来父亲的父亲
        } else {
            break;
        }
    }
}

5. 堆的插入

插入数据时，把数据插在最后一个再向上调整。

void HPPush(HP* php, HPDataType x) {
    assert(php);
    if (php->size == php->capacity) {
        // 扩容
        int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
        HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
        if (tmp == NULL) {
            perror("realloc fail");
            return;
        }
        php->a = tmp;
        php->capacity = newcapacity;
    }
    php->a[php->size] = x;
    php->size++;
    AdjustUp(php->a, php->size - 1); // 数组下标从 0 开始
}

6. 向下调整

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent) {
    // 假设法 先假设左孩子小
    int child = parent * 2 + 1;
    while (child < n) // child>=n 说明孩子不存在 调整到叶子了 n 是数组大小
    {
        // 找出小的孩子
        if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]) // 当左孩子取 n-1 时 右孩子 a[n] 越界访问 所有要再加一个判断条件
        {
            child++; // child+1 变成右孩子
        }
        if (a[child] < a[parent]) {
            Swap(&a[child], &a[parent]);
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
        } else {
            break;
        }
    }
}

7. 删除堆顶数据

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

void HPPop(HP* php) {
    assert(php);
    assert(php->size > 0);
    Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
    php->size--;
    AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

8. 判空

bool HPEmpty(HP* php) {
    assert(php);
    return php->size == 0;
}

9. 返回堆顶元素

HPDataType HPTop(HP* php) // 返回堆顶元素
{
    assert(php);
    assert(php->size > 0);
    return php->a[0];
}

10. 按顺序打印

给一个数组让他按顺序打印。

#include "Heap.h"

void Test01() {
    int a[] = {2, 4, 5, 7, 3, 2, 1, 5};
    HP hp;
    HPInit(&hp);
    for (size_t i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++) {
        HPPush(&hp, a[i]); // push 就是建堆 把 a[i] 依次放入
    }
    while (!HPEmpty(&hp)) {
        printf("%d ", HPTop(&hp));
        HPPop(&hp);
    }
}

int main() {
    Test01();
    return 0;
}

11. 程序源码

Heap.h

#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap {
    HPDataType* a;
    int size;
    int capacity;
} HP;

void HPInit(HP* php);
void HPDestroy(HP* php);
void HPPush(HP* php, HPDataType x);
void HPPop(HP* php); // 删除堆顶的数据
void AdjustUp(HPDataType* a, int x);
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);
HPDataType HPTop(HP* php);
bool HPEmpty(HP* php);

Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include "Heap.h"

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2) {
    HPDataType tmp = *p1;
    *p1 = *p2;
    *p2 = tmp;
}

void HPInit(HP* php) {
    assert(php);
    php->a = NULL;
    php->capacity = php->size = 0;
}

void HPDestroy(HP* php) {
    assert(php);
    free(php->a);
    php->a = NULL;
    php->capacity = php->size = 0;
}

void HPPush(HP* php, HPDataType x) {
    assert(php);
    if (php->size == php->capacity) {
        int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
        HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
        if (tmp == NULL) {
            perror("realloc fail");
            return;
        }
        php->a = tmp;
        php->capacity = newcapacity;
    }
    php->a[php->size] = x;
    php->size++;
    AdjustUp(php->a, php->size - 1); // 数组下标从 0 开始
}

// 向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child) {
    int parent = (child - 1) / 2;
    while (child > 0) {
        if (a[child] < a[parent]) {
            Swap(&a[child], &a[parent]);
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 2; // 去找原来父亲的父亲
        } else {
            break;
        }
    }
}

void HPPop(HP* php) {
    assert(php);
    assert(php->size > 0);
    Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
    php->size--;
    AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent) {
    // 假设法 先假设左孩子小
    int child = parent * 2 + 1;
    while (child < n) // child>=n 说明孩子不存在 调整到叶子了 n 是数组大小
    {
        // 找出小的孩子
        if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]) // 当左孩子取 n-1 时 右孩子 a[n] 越界访问 所有要再加一个判断条件
        {
            child++; // child+1 变成右孩子
        }
        if (a[child] < a[parent]) {
            Swap(&a[child], &a[parent]);
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
        } else {
            break;
        }
    }
}

HPDataType HPTop(HP* php) // 返回堆顶元素
{
    assert(php);
    assert(php->size > 0);
    return php->a[0];
}

bool HPEmpty(HP* php) {
    assert(php);
    return php->size == 0;
}

test.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include "Heap.h"

void Test01() {
    int a[] = {2, 4, 5, 7, 3, 2, 1, 5};
    HP hp;
    HPInit(&hp);
    for (size_t i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++) {
        HPPush(&hp, a[i]); // push 就是建堆 把 a[i] 依次放入
    }
    /*while (!HPEmpty(&hp)) { printf("%d", HPTop(&hp)); HPPop(&hp); }*/
    int k = 0;
    scanf("%d", &k);
    while (k--) {
        printf("%d ", HPTop(&hp));
        HPPop(&hp);
    }
}

int main() {
    Test01();
    return 0;
}

3.4 堆的应用

1. TOP-k 问题

TOP-K 问题：即求数据集合中前 K 个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。 比如：专业前 10 名、世界 500 强、富豪榜、游戏中前 100 的活跃玩家等。 对于 Top-K 问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了 (可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前 K 个元素来建堆
   • 前 k 个最大的元素，则建小堆
   • 前 k 个最小的元素，则建大堆
2. 用剩余的 N-K 个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
   • 将剩余 N-K 个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的 K 个元素就是所求的前 K 个最小或者最大的元素。

void PrintTopK(int* a, int n, int k) {
    // 1. 建堆--用 a 中前 k 个元素建堆
    // 2. 将剩余 n-k 个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换
}

void TestTopk() {
    int n = 10000;
    int* a = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
    srand(time(0));
    for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
        a[i] = rand() % 1000000;
    }
    a[5] = 1000000 + 1;
    a[1231] = 1000000 + 2;
    a[531] = 1000000 + 3;
    a[5121] = 1000000 + 4;
    a[115] = 1000000 + 5;
    a[2335] = 1000000 + 6;
    a[9999] = 1000000 + 7;
    a[76] = 1000000 + 8;
    a[423] = 1000000 + 9;
    a[3144] = 1000000 + 10;
    PrintTopK(a, n, 10);
}

2. 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆
   • 升序：建大堆
   • 降序：建小堆
2. 利用堆删除思想来进行排序
   • 建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。