C++算法
二分查找算法详解：基础查找与边界定位
二分查找算法原理及实现。涵盖标准二分查找与有序数组中查找元素首尾位置。通过代码示例展示左右指针移动逻辑、中间值计算防溢出技巧，以及寻找左右边界时的取整差异。重点分析区间收缩策略，避免死循环，提供 C++ 模板代码。
二分查找算法原理及实现。涵盖标准二分查找与有序数组中查找元素首尾位置。通过代码示例展示左右指针移动逻辑、中间值计算防溢出技巧，以及寻找左右边界时的取整差异。重点分析区间收缩策略，避免死循环，提供 C++ 模板代码。
二分查找（Binary Search），也称为折半查找，是一种高效的有序数组查找算法。其核心思想是通过不断将搜索区间减半，快速缩小目标值的可能范围，最终找到目标值或确定其不存在。该算法的时间复杂度为 O(log n)，远优于顺序查找的 O(n)，在处理大规模有序数据时优势显著。
题目链接：
题目描述：
给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
解法：
arr[mid] == target：说明正好找到，返回 mid 的值；arr[mid] > target：说明 [mid, right] 这段区间都是大于 target 的。因此舍去右边区间，往左边 [left, mid-1] 的区间继续查找，即让 right = mid - 1，然后重复步骤 2；arr[mid] < target：说明 [left, mid] 这段区间的值都是小于 target 的。因此舍去左边区间，在右边 [mid+1, right] 区间继续查找，即让 left = mid + 1，然后重复步骤 2。class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0, right = nums.size() - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2; // 防止数据溢出
if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
else if (nums[mid] > target) right = mid - 1;
else return mid;
}
return -1;
}
};
int left = 0, right = nums.size() - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2; // 防止数据溢出
if (条件判断) left = mid + 1;
else if (条件判断) right = mid - 1;
else return 结果;
}
请大家一定不要觉得背下模板就能解决所有二分问题。二分问题最重要的就是要分析题意，然后确定要搜索的区间，根据分析问题来写出二分查找算法的代码。要分析题意，确定搜索区间，不要死记模板，不要看左闭右开什么乱七八糟的题解。
模板记忆技巧：
right - 1 的情况下，才会向上取整（也就是 +1 取中间数）。题目链接：
题目描述：
给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。
解法：
用的还是二分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间一分为二，然后舍去其中一个区间，然后在另一个区间内查找。
方便叙述，用 x 表示该元素，resLeft 表示左边界，resRight 表示右边界。
寻找左边界：我们需要注意到以左边界划分的两个区间的特点：
[left, resLeft - 1] 都是小于 x 的；[resLeft, right] 都是大于等于 x 的；因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下面两种情况：
[left, resLeft - 1] 区间的时候，也就是 arr[mid] < target。说明 [left, mid] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1 的位置，继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界；[resLeft, right] 的区间的时候，也就是 arr[mid] >= target。说明 [mid + 1, right] （因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界；由此，就可以通过二分，来快速寻找左边界；注意：这里找中间元素需要向下取整。因为后续移动左右指针的时候：
left = mid + 1，是会向后移动的，因此区间是会缩小的；right = mid，可能会原地踏步（比如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元素，left == 1，right == 2，mid == 2。更新区间之后，left，right，mid 的值没有改变，就会陷入死循环）。因此一定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。
寻找右边界：用 resRight 表示右边界，我们注意到右边界的特点：
[left, resRight] 都是小于等于 x 的；[resRight + 1, right] 都是大于 x 的；因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下面两种情况：
[left, resRight] 区间的时候，说明 [left, mid - 1] （mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果）都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid 的位置；[resRight + 1, right] 的区间的时候，说明 [mid, right] 内的元素是可以舍去的，此时更新 right 到 mid - 1 的位置；由此，就可以通过二分，来快速寻找右边界；注意：这里找中间元素需要向上取整。因为后续移动左右指针的时候：
left = mid，可能会原地踏步（比如：如果向下取整的话，如果剩下 1,2 两个元素，left == 1，right == 2，mid == 1。更新区间之后，left，right，mid 的值没有改变，就会陷入死循环）。right = mid - 1，是会向前移动的，因此区间是会缩小的；因此一定要注意，当 left = mid 的时候，要向上取整。
class Solution {
public:
vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
int begin = 0, end = 0, mid = 0;
if (nums.empty()) {
return {-1, -1};
}
// 1. 查找区间左端点
int left = 0, right = nums.size() - 1;
while (left < right) {
mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
else right = mid;
}
if (nums[left] == target) begin = left;
else return {-1, -1};
// 2. 查找区间右端点
left = 0, right = nums.size() - 1;
while (left < right) {
mid = left + (right - left + 1) / 2;
if (nums[mid] <= target) left = mid;
else right = mid - 1;
}
if (nums[right] == target) end = right;
else return {-1, -1};
return {begin, end};
}
};
笔记展示略。
二分查找算法总结：请大家一定不要觉得背下模板就能解决所有二分问题。二分问题最重要的就是要分析题意，然后确定要搜索的区间，根据分析问题来写出二分查找算法的代码。要分析题意，确定搜索区间，不要死记模板，不要看左闭右开什么乱七八糟的题解。
模板记忆技巧：
right - 1 的情况下，才会向上取整（也就是 +1 取中间数）。
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