动态规划经典模型：斐波那契数列及变体

一、动态规划解题模版

1. 状态表示：一般创建一个一维数组 dp，把 dp 表填满，其中的某一个值就是结果。状态表示指 dp 表中元素的含义。
   • 来源：题目要求、经验 + 题目要求，分析问题的过程中的重复子问题
2. 状态转移方程：dp[i] = ?
3. 初始化：保证根据状态转移方程填表时不越界
4. 填表顺序：为了填写当前状态的时候，所需要的状态已经计算过了
5. 返回值：题目要求 + 状态表示

二、第 N 个泰波那契数

题目描述：第四个数是前三个数的和，第一二三个数定为 0 1 1，返回第 n 个数。

题目解析：

解题思路：

1. 状态表示：dp[i] 表示第 i 个泰波那契数
2. 状态转移方程：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]
3. 初始化：dp[0] = 0, dp[1] = 1, dp[2] = 1
4. 填表顺序：顺序从左向右填表即可
5. 返回值：dp[n]

解题代码：

// 时间复杂度：O(N) // 空间复杂度：O(N)
class Solution {
    public int tribonacci(int n) {
        if (n < 3) return n == 0 ? 0 : 1;
        // 创建 dp 表
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 初始化
        dp[0] = 0; dp[1] = dp[2] = 1;
        // 填表
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3];
        }
        // 返回值
        return dp[n];
    }
}

空间优化：只创建长度为三的数组即可：

// 时间复杂度：O(N) // 空间复杂度：O(1)
class Solution {
    public int tribonacci(int n) {
        if (n < 3) return n == 0 ? 0 : 1;
        // 创建 dp 表
        int[] dp = new int[]{0, 1, 1};
        // 填表
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            int tmp = dp[0];
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = dp[2];
            dp[2] = tmp + dp[0] + dp[1];
        }
        // 返回值
        return dp[2];
    }
}

三、面试题 08.01. 三步问题

题目描述：

题目解析：

• 每一次上楼梯有三个选择：1, 2, 3，返回走到第 n 阶梯有多少种走法

解题思路：

1. 状态表示：dp[i] 表示第 i 阶的上楼方式种类数
2. 状态转移方程：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]
3. 初始化：dp[0] = 1, dp[1] = 1, dp[2] = 2（小孩有 3 种走法，那么小孩的上一个台阶的可能就是 i-1, i-2, i-3）
4. 填表顺序：顺序从左向右填表即可
5. 返回值：dp[n]

解题代码：

// 时间复杂度：O(N) // 空间复杂度：O(N)
class Solution {
    public int waysToStep(int n) {
        if (n < 3) return n;
        // 建立 dp 表
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 初始化
        dp[0] = dp[1] = 1; dp[2] = 2;
        // 填表
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = ((dp[i - 1] + dp[i - 2]) % 1000000007 + dp[i - 3]) % 1000000007;
        }
        // 返回值
        return dp[n];
    }
}

四、746. 使用最小花费爬楼梯（easy）

题目描述：

题目解析：

• 给我们一个 cost 数组，表示走出这一个台阶需要的花费
• 可以选择第一步从 cost[0] 还是 cost[1] 开始
• 让我们返回到达楼顶的最小总花费

解题思路：

1. 状态表示：dp[i] 表示走到第 i 阶的最小花费
2. 状态转移方程：dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
3. 初始化：表的长度要比 cost 大 1，表示楼顶
4. 填表顺序：顺序从左向右填表即可
5. 返回值：dp[n]

解题代码：

// 时间复杂度：O(N) // 空间复杂度：O(N)
class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int n = cost.length;
        if (n == 2) return Math.min(cost[0], cost[1]);
        // 状态转移表
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 状态转移方程
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        return dp[n];
    }
}

五、91.解码方法

题目描述：

题目解析：

• 给我们一个编码规则，数字 1 - 26 对应表示字母 A - Z
• 给我们一个纯数字的字符串，让我们将字符串进行拆分，拆分后的字符串，对应的所有子串都可以对应表示成字母
• 求可以拆分的种数

解题思路：

1. 状态表示：dp[i] 表示字符串中 0 到 i 字符的合法拆分结果
2. 状态转移方程：
   • i 位置上字符为 1 到 9 的字符单独解码成功 dp[i] += dp[i - 1]
   • i 与 i-1 位置上的字符组合是 10 到 26 的合法编码 dp[i] += dp[i - 2]
3. 初始化：
   • dp[0]：第一个字符不为 0，就 dp[0] = 1，为 0 就返回 0
   • dp[1]：该字符不为 0，dp[1] += dp[0]，与第 0 个字符组成合法编码 10 - 26，dp[1] += 1

填表顺序：从左到右 返回值：dp[n - 1]

解题代码：

class Solution {
    public int numDecodings(String s) {
        // 前导 0
        if (s.charAt(0) == '0') return 0;
        int n = s.length();
        char[] ch = s.toCharArray();
        // 只有一个字符
        if (n == 1) return 1;
        int[] dp = new int[n];
        // 初始化
        dp[0] = 1;
        // 初始化第二个元素
        if (ch[1] != '0' && ch[0] != '0') dp[1] += 1;
        int t = (ch[1] - '0') + (ch[0] - '0') * 10;
        if (t >= 10 && t <= 26) dp[1] += 1;
        // 填表
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            // 该字符单独组
            if (ch[i] != '0') dp[i] += dp[i - 1];
            // 与前一个字符组
            t = (ch[i] - '0') + (ch[i - 1] - '0') * 10;
            if (t >= 10 && t <= 26) dp[i] += dp[i - 2];
        }
        return dp[n - 1];
    }
}