算法基础：前缀和原理与 Java 实现

在处理数组区间查询问题时，如果数据量较大且查询频繁，直接遍历求和往往会导致超时。今天我们来聊聊一种经典优化技巧——前缀和（Prefix Sum），它能将区间查询的时间复杂度从 O(n) 降低到 O(1)。

问题描述

给定一个长度为 n 的整数数组 a，以及 m 次查询操作。每次查询给出两个参数 l 和 r，要求输出数组中第 l 个到第 r 个元素之和（即 a[l] + ... + a[r]）。

输入格式：

第一行包含两个整数 n, m (1 ≤ n, m ≤ 10^5)
第二行包含 n 个整数 a[1]...a[n] (-10^9 ≤ a[i] ≤ 10^9)
接下来 m 行，每行两个整数 l, r (1 ≤ l ≤ r ≤ n)

输出格式：

对于每次查询，输出一行整数代表区间和。

示例： 输入：

输出：

3
6

核心思路

为什么需要前缀和？

假设我们直接对每个查询进行循环累加，最坏情况下每次查询都要遍历整个数组。当 n 和 m 都达到 10^5 级别时，总运算量可能接近 10^10，这在常规时限内是无法接受的。

前缀和的核心思想是预处理。我们预先计算出一个新数组 dp，其中 dp[i] 存储原数组从下标 1 到 i 的所有元素之和。

公式很简单： dp[i] = dp[i - 1] + arr[i]

这样构建完成后，任意区间 [l, r] 的和就可以通过两次减法瞬间得出： sum(l, r) = dp[r] - dp[l - 1]

这就好比我们在路上每隔一段距离标记累计里程，想知道某两站之间的距离，直接用后一站的里程减去前一站的里程即可，无需重新走一遍。

注意事项

索引处理：为了方便计算 dp[l-1]，通常将前缀和数组设为 n+1 长度，且 dp[0] = 0。这样即使 l=1，也能正常访问 dp[0]。
数据类型：题目中单个元素最大为 10^9，若累加次数多，总和极易超出 32 位整数范围（约 2×10^9）。因此前缀和数组务必使用 long 类型。

代码实现

下面是一个完整的 Java 解决方案。注意这里使用了 Scanner 读取输入，并针对大输入场景做了基本的数据类型保护。

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        
        // 读取数组长度和查询次数
        if (!in.hasNextInt()) ;
           in.nextInt();
           in.nextInt();
        
        
        
        [] array =  [n + ];
         (   ; i <= n; i++) {
            array[i] = in.nextInt();
        }
        
        
        
        [] dp =  [n + ];
         (   ; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - ] + array[i];
        }
        
        
         (m > ) {
               in.nextInt();
               in.nextInt();
            
            
            System.out.println(dp[r] - dp[l - ]);
            m--;
        }
        
        in.close();
    }
}

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