二叉树算法实战：美国血统与公共祖先求解

二、二叉树问题

2.1 题目描述

链接：二叉树问题 (Luogu P3884)

2.2 算法思路

本题综合考察了树的几个基本属性：深度、宽度以及最近公共祖先（LCA）。

• 深度：使用深度优先搜索（DFS），递归计算每个节点的最大子树高度。
• 宽度：使用广度优先搜索（BFS），按层遍历并记录每层的最大节点数。
• 最近公共祖先：通过向上回溯父亲节点来寻找路径。对于两个节点 x 和 y，从 x 向上标记路径，然后从 y 向上找第一个已标记的节点，即为 LCA。距离计算则结合了两点到 LCA 的路径长度。

2.3 代码实现

// 二叉树问题
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

const int N = 110;
vector<int> tree[N];
int fa[N];      // f[i]: i 的父亲节点
int dest[N];    // dest[i]: x 到 i 经历的节点个数

// 计算深度
int dfs(int u) {
    int ret = 0;
    for (auto v : tree[u]) ret = max(ret, dfs(v));
    return ret + 1;
}

// 计算宽度
int bfs() {
    queue<int> q;
    q.push(1);
    int ret = 0;
    while (!q.empty()) {
        int sz = q.size();
        ret = max(ret, sz);
        while (sz--) {
            auto x = q.front();
            q.pop();
            for (auto v : tree[x]) q.push(v);
        }
    }
    return ret;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        tree[u].push_back(v);
        fa[v] = u;
    }

    // 深度
    cout << dfs(1) << endl;
    // 宽度
    cout << bfs() << endl;

    // 距离及最近公共祖先相关计算
    int x, y;
    cin >> x >> y;
    
    // 标记 x 到根的路径
    while (x != 1) {
        dest[fa[x]] = dest[x] + 1;
        x = fa[x];
    }
    
    // 从 y 向上找第一个有标记的节点
    int len = 0;
    while (y != 1 && dest[y] == 0) {
        y = fa[y];
        len++;
    }
    
    cout << 2 * dest[y] + len << endl;
    return 0;
}

这两道题涵盖了二叉树遍历、重建以及基础统计操作。在实际刷题过程中，建议先手动模拟小数据样例，理清递归边界，再动手编码。树形结构的题目往往逻辑清晰但细节繁多，注意数组下标和边界条件即可。