二叉树算法实战：美国血统与公共祖先求解

二、二叉树问题

题目描述

给定一棵有根树，需要计算树的深度、宽度（最大层节点数），以及任意两点间的距离和最近公共祖先。

算法思路

• 深度：采用递归后序遍历，每个节点的深度是其子节点深度的最大值加一。
• 宽度：适合用层序遍历（BFS），记录每一层的节点数量并取最大值。
• 最近公共祖先 (LCA)：可以通过向上不断找父亲结点的方式。第一个重叠的位置，就是两者的最近公共祖先。可以一边寻找路径，一边计算结果。

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;
vector<int> tree[N];
int fa[N];      // f[i]: i 的父亲节点
int dest[N];    // dest[i]: x 到 i 经历的节点个数

// 计算深度
int dfs(int u) {
    int ret = 0;
    for (auto v : tree[u]) ret = max(ret, dfs(v));
    return ret + 1;
}

// 计算宽度
int bfs() {
    queue<int> q;
    q.push(1);
    int ret = 0;
    while (!q.empty()) {
        int sz = q.size();
        ret = max(ret, sz);
        while (sz--) {
            auto x = q.front();
            q.pop();
            for (auto v : tree[x]) q.push(v);
        }
    }
    return ret;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        tree[u].push_back(v);
        fa[v] = u;
    }

    // 深度
    cout << dfs(1) << endl;
    // 宽度
    cout << bfs() << endl;

    // 距离与 LCA
    int x, y;
    cin >> x >> y;
    while (x != 1) {
        dest[fa[x]] = dest[x] + 1;
        x = fa[x];
    }
    int len = 0;
    while (y != 1 && dest[y] == 0) {
        y = fa[y];
        len++;
    }
    cout << 2 * dest[y] + len << endl;
    return 0;
}

这两道题虽然侧重点不同，但都体现了分治思维在树形结构中的应用。掌握这些基础操作，对于后续处理更复杂的图论或动态规划问题会有很大帮助。