二叉树算法实战：美国血统重建与深度宽度计算

二、二叉树综合问题

题目描述

针对给定的二叉树结构，需要计算树的深度、宽度以及任意两点间的距离（隐含最近公共祖先逻辑）。这涉及对树结构的多种遍历方式及路径追踪。

算法思路

• 深度：采用深度优先搜索（DFS）。递归计算每个子树的最大深度，当前节点深度为子树最大深度加一。
• 宽度：采用广度优先搜索（BFS）。按层遍历，记录每一层的节点数量，最大值即为树的宽度。
• 距离/公共祖先：利用父节点数组向上回溯。从两个目标节点分别向根节点走，第一个重合的节点即为最近公共祖先。距离计算可通过记录路径上的步数累加得出。

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;
vector<int> tree[N];
int fa[N];      // f[i]: i 的父亲节点
int dest[N];    // dest[i]: x 到 i 经历的节点个数

// 计算深度
int dfs(int u) {
    int ret = 0;
    for (auto v : tree[u]) ret = max(ret, dfs(v));
    return ret + 1;
}

// 计算宽度
int bfs() {
    queue<int> q;
    q.push(1);
    int ret = 0;
    while (!q.empty()) {
        int sz = q.size();
        ret = max(ret, sz);
        while (sz--) {
            auto x = q.front();
            q.pop();
            for (auto v : tree[x]) q.push(v);
        }
    }
    return ret;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        tree[u].push_back(v);
        fa[v] = u;
    }

    // 输出深度
    cout << dfs(1) << endl;
    // 输出宽度
    cout << bfs() << endl;

    // 计算距离
    int x, y;
    cin >> x >> y;
    
    // 标记 x 到根的路径
    while (x != 1) {
        dest[fa[x]] = dest[x] + 1;
        x = fa[x];
    }
    
    // 从 y 向上找，直到遇到已标记的路径或到达根
    int len = 0;
    while (y != 1 && dest[y] == 0) {
        y = fa[y];
        len++;
    }
    
    // 总距离 = x 到 LCA + y 到 LCA
    cout << 2 * dest[y] + len << endl;
    return 0;
}

这两道题涵盖了二叉树最核心的遍历与性质计算。在实际开发中，理解递归边界和状态传递往往比写出代码本身更重要。建议读者在本地调试时多观察变量变化，体会递归栈的进出过程。