二分算法实战：A-B 数对与高考志愿问题解析

烦恼的高考志愿

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题目要求在学校的录取分数中找到与学生成绩最接近的分数。同样需要先对录取分数排序。对于每个学生成绩 $b$，使用二分查找找到第一个 $≥ b$ 的位置 $pos$。最优解要么在 $pos$，要么在 $pos - 1$。

这里有个常见的边界坑点：

1. 若所有分数都大于 $b$，则 $pos$ 可能指向最小值，$pos-1$ 越界。
2. 若所有分数都小于 $b$，则 $pos$ 可能超出数组范围。

解决方法是在数组两端添加'哨兵'（左右护法），例如设置 $a[0]$ 为一个极小值，避免下标越界判断过于复杂。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
LL a[N], b[N];
int m, n;

// 手动实现二分查找，找第一个 >= x 的位置
LL find(LL x) {
    int l = 1, r = m;
    while (l < r) {
        LL mid = (l + r) / 2;
        if (a[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

int main() {
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> a[i];

    // 设置左哨兵，防止 pos-1 越界
    a[0] = -1e7; 
    sort(a + 1, a + 1 + m);

    LL ret = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> b[i];
        LL pos = find(b[i]);
        // 比较 pos 和 pos-1 两个位置的差值绝对值
        ret += min(abs(a[pos] - b[i]), abs(a[pos - 1] - b[i]));
    }
    cout << ret << endl;
    return 0;
}

总结

二分查找的关键在于识别问题的'二段性'。无论是利用 STL 简化代码，还是手写二分控制边界，核心逻辑是一致的。在实际刷题中，务必注意数组下标的边界情况，适当使用哨兵可以大幅减少条件分支的判断成本。