二分算法实战：A-B 数对与高考志愿问题解析

二、烦恼的高考志愿

2.1 题目描述

有 m 所学校的录取分数线，以及 n 个学生的成绩。每个学生选择一个学校，要求差值最小。求所有学生不满意度的总和。

2.2 算法思路

先把学校的录取分数「排序」，然后针对每一个学生成绩，在「录取分数」中二分出 ≥ b 的第一个位置 pos。 那么差值最小的结果要么在 pos 位置，要么在位置 pos - 1。最后的不满意度求法就为：abs(a[pos] − b) 与 abs(a[pos − 1] − b) 的最小值。

边界处理细节： 如果所有元素都大于 b 的时候，pos - 1 会在 0 下标的位置，有可能结果出错； 如果所有元素都小于 b 的时候，pos 会在 n 的位置，此时结果倒不会出错，但我们要想到这个细节问题，这道题不出错不代表下一道题不出错。 解决方法：加上两个左右护法（哨兵值），结果就不会出错了。

2.3 代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
LL a[N], b[N], m, n;

// 手写二分查找：寻找第一个 >= x 的位置
LL find(LL x) {
    int l = 1, r = m;
    while (l < r) {
        LL mid = (l + r) / 2;
        if (a[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

int main() {
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> a[i];
    
    // 设置左护法，防止越界
    a[0] = -1e7;
    sort(a + 1, a + 1 + m);
    
    LL ret = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> b[i];
        LL pos = find(b[i]);
        // 比较 pos 和 pos-1 两个位置的差值
        ret += min(abs(a[pos - 1] - b[i]), abs(a[pos] - b[i]));
    }
    cout << ret << endl;
    return 0;
}

总结

通过这两道题目，我们学会了利用排序与二分查找快速统计数对、寻找最优匹配。重点理解了边界处理与 STL 函数的正确使用。二分的本质是寻找二段性，代码简洁却考验思维。在实际解题中，要注意数组是否有序，以及边界条件的保护。