二分算法详解：查找元素首尾位置及区间查询

当问题的解具备二段性时，二分算法是寻找答案的高效工具。核心思路是根据中点位置判断目标落在哪一侧，随即舍弃一半区间，时间复杂度为 O(logN)。C++ STL 提供了 lower_bound（大于等于 x 的最小元素）和 upper_bound（大于 x 的最小元素），底层均基于二分实现。

在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目描述 给定一个按照升序排列的整数数组 nums 和一个目标值 target，找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。如果数组中不存在目标值，返回 [-1, -1]。

算法思路 这道题需要分别找到左边界和右边界。直接遍历是 O(N)，利用有序特性可优化至 O(logN)。

1. 查找左端点：使用二分查找，当 nums[mid] >= target 时，说明目标可能在左侧或就是 mid，因此 right = mid；否则 left = mid + 1。注意循环条件是 left < right，避免死循环。
2. 查找右端点：同理，但逻辑相反。当 nums[mid] <= target 时，left = mid；否则 right = mid - 1。这里计算 mid 时需要向上取整 (left + right + 1) / 2，防止 left = mid 导致死循环。
3. 合法性校验：找到端点后，需检查该位置的元素是否真的等于 target，防止数组中无目标值的情况。

代码实现

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        if (nums.empty()) return {-1, -1};

        // 二分查找左端点
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while (left < right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (nums[mid] >= target) right = mid;
            else left = mid + 1;
        }
        
        if (nums[left] != target) return {-1, };
         retLeft = left;

        
        left = ; right = nums.() - ;
         (left < right) {
             mid = (left + right + ) / ;
             (nums[mid] <= target) left = mid;
             right = mid - ;
        }
        
         {retLeft, right};
    }
};