从零开始理解词向量：共现矩阵与语义表示

• "苹果"这个词的向量可以表示为：[0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
• "橙子"的向量则表示为：[0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0]

我们来看看，'苹果'和'橙子'之间有多大关联。这里可以用余弦相似度来衡量。

计算步骤

已知：

• "苹果"的向量 $A = [0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]$
• "橙子"的向量 $B = [0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0]$

1. 计算点积：两个向量的对应位相乘，然后相加。 $$ A \cdot B = (0\times0) + (0\times0) + (1\times0) + (0\times1) + (1\times1) + (1\times0) + (0\times1) + ... = 1 $$

2. 计算模长： $$ ||A|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 + 1^2 + ...} = \sqrt{3} $$ $$ ||B|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 + ...} = \sqrt{3} $$

3. 计算余弦相似度： $$ \text{Similarity}(A, B) = \frac{A \cdot B}{||A|| \times ||B||} = \frac{1}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{1}{3} $$

因此，"苹果"和"橙子"之间的余弦相似度为 1/3。这意味着在给定的上下文中，苹果和橙子有 1/3 的共现情况，这种相似度反映了苹果和橙子在上下文中的共现模式。

再来看看'苹果'和'喜欢'的相似度：

• 共现向量（苹果）= [0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
• 共现向量（喜欢）= [1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
• 余弦相似度 ≈ 0.577

而'苹果'和'学校'的相似度则为 0，这表明它们在共现矩阵中共现的情况很少或根本没有。换句话说，这两个词在文本中很少同时出现在相同的上下文中。因此，它们之间的共现模式非常不同，可以认为它们在语义上没有明显的联系或相关性。

共现矩阵向量表示的局限性

我们来计算一下'他'与'经常'的相似度，结果是 1/3，而'小华'与'经常'的相似度为 0。而从语义来看，这里的'他'代指'小华'，但从上面的共现矩阵并没有发现这种联系，说明了共现矩阵在捕捉词语语义关系方面的不足。共现矩阵的不足，主要表现在以下几点：

1. 稀疏性：共现矩阵会变得非常稀疏，特别是在处理大型语料库时，因为大多数词语只与少数词语共现。这导致大量的维度没有实际的信息，而是被填充为零。
2. 词序信息丢失：共现矩阵仅考虑词语共现的频率，忽略了词语在句子或文本中的顺序信息，这在很多情况下是非常重要的，尤其是在理解上下文中的语义关系时。
3. 无法处理复杂关系：共现矩阵无法捕捉到更复杂的语义关系，例如词语的多义性、上下位关系等，因为它只关注词语之间的共现频率。

现代词向量技术的演进

相比之下，机器学习中的词向量具有以下优点：

1. 语义信息丰富：通过大型语料库学习，能更好地捕捉语义信息。
2. 低维稠密表示：相对共现矩阵，更具信息量且易于处理。
3. 考虑词序信息：如 RNN 和 Transformer 等模型能够更准确地捕捉语义关系，提高模型性能。

从共现矩阵到 SVD

为了解决共现矩阵的稀疏性问题，早期研究常使用奇异值分解（SVD）对共现矩阵进行降维。通过保留前 k 个主成分，可以将高维稀疏矩阵转化为低维稠密矩阵，从而得到初步的词向量表示。这种方法被称为潜在语义分析（LSA）。

Word2Vec 与神经网络

随着深度学习的发展，Word2Vec 模型应运而生。它通过预测上下文（Skip-gram）或预测中心词（CBOW）的方式，直接训练出稠密的词向量。相比基于统计的共现矩阵，Word2Vec 能够更高效地利用大规模数据，并捕捉到更细微的语义关系。

Python 代码实现示例

以下是一个简单的 Python 示例，演示如何构建共现矩阵并计算余弦相似度：

import numpy as np
from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similarity

# 定义词汇表
words = ["小华", "喜欢", "吃", "苹果", "和", "橙子", "他", "经常", "在", "学校", "买", "水果"]
word_to_idx = {w: i for i, w in enumerate(words)}

# 初始化共现矩阵 (12x12)
count_matrix = np.zeros((len(words), len(words)))

# 模拟句子分词
tokens = ["小华", "喜欢", "吃", "苹果", "和", "橙子", "他", "经常", "在", "学校", "买", "水果"]
window_size = 2

# 构建共现矩阵
for i, word in enumerate(tokens):
    start = max(0, i - window_size)
    end = min(len(tokens), i + window_size + 1)
    for j in range(start, end):
        if i != j:
            neighbor = tokens[j]
            count_matrix[word_to_idx[word], word_to_idx[neighbor]] += 1

# 获取向量
apple_vec = count_matrix[word_to_idx["苹果"]]
orange_vec = count_matrix[word_to_idx["橙子"]]

# 计算余弦相似度
similarity = cosine_similarity([apple_vec], [orange_vec])[0][0]
print(f"苹果和橙子的余弦相似度：{similarity:.4f}")

总结

本文介绍了自然语言处理中的向量表示，着重介绍了共现矩阵的概念和应用。共现矩阵是一种用于表示词语之间关系的工具，通过统计词语在文本中的共现情况，揭示词语之间的关联性。文章以一个简单的例子演示了如何构建共现矩阵，并计算了词语之间的相似度。虽然共现矩阵能捕捉词语的共现关系，但在理解语义关系方面存在不足。相比之下，机器学习中的词向量能更准确地捕捉语义信息，具有更丰富的语义表示，对 NLP 任务更为有效。

在实际应用中，理解词向量的底层原理有助于更好地选择和使用预训练模型，从而提升大模型应用的效果。