CSP-S 提高组 C++ 数位 DP 详解

数位 DP 详解

一、基本概念

数位 DP（Digit DP）是一种用于解决数字位相关计数问题的动态规划方法，常用于统计满足特定条件的数字个数。典型应用场景包括：

• 统计区间内包含或不包含某些数字的数的个数
• 统计满足特定位模式的数的数量
• 计算数字位属性的统计值（如数位和）

二、核心思想

1. 数位拆分：将数字转换为字符串或数组逐位处理
2. 状态压缩：记录前导零、是否受限、前位状态等关键信息
3. 记忆化搜索：通过 DP 数组缓存中间计算结果

三、状态设计要素

1. pos：当前处理的数位位置
2. limit：前面是否已经达到上限
3. pre：前一位数字的值
4. lead：前导零状态
5. 其他题目特定状态（如数位和、特定标记等）

四、代码模板

以下是基于 C++ 的记忆化搜索模板框架：

int dp[20][2]; // 根据具体题目调整维度
int digits[20];

int dfs(int pos, bool limit, bool lead) {
    if (pos == 0) return 1; // 终止条件
    if (!limit && !lead && dp[pos][...] != -1) 
        return dp[pos][...];
    
    int ans = 0;
    int up = limit ? digits[pos] : 9;
    for (int i = 0; i <= up; ++i) {
        if (lead && i == 0) {
            ans += dfs(pos - 1, false, true);
        }  {
            ans += (pos - , limit && (i == up), );
        }
    }
    
     (!limit && !lead) dp[pos][...] = ans;
     ans;
}