一、引言：当系统'善变'且'未知'——为什么需要自适应控制？
在真实工业场景中，控制系统常面临：
- 参数漂移（如电机绕组电阻随温升增加 30%）
- 结构变化（如无人机载荷投放后质量突变）
- 完全未知模型（如新型执行器无先验参数）
自适应控制（Adaptive Control）通过在线学习与实时调整，使控制器能：在无精确模型下稳定系统、自动补偿参数变化、保持高性能跟踪。
本文目标：使用 MATLAB + Simulink 完成建立二阶伺服系统（含时变未知增益）、设计模型参考自适应控制（MRAC）与自校正控制（STC）两种方案、在 Simulink 中实现参数辨识 + 控制器重构。最终实现：即使系统增益在 [0.8, 3.0] 范围内任意跳变，仍能实现 <1% 跟踪误差、无超调响应。
二、被控对象：二阶伺服系统（含未知时变增益）
1. 数学模型
[ \ddot{y}(t) + a_1 \dot{y}(t) + a_2 y(t) = b u(t) ]
其中：
- $a_1 = 2$, $a_2 = 5$：已知（可通过阶跃响应粗略估计）
- $b > 0$：未知且时变（例如：$b = 1.0 \rightarrow 2.5 \rightarrow 0.8$）
挑战：传统 PID 需整定 $K_p, K_i, K_d$ 依赖 $b$，而自适应控制无需！
三、方案一：模型参考自适应控制（MRAC）
A. 参考模型设计
选择理想二阶动态：
[ \ddot{y}_m + 2 \zeta \omega_n \dot{y}_m + \omega_n^2 y_m = \omega_n^2 r ]
设 $\zeta = 0.7$, $\omega_n = 4$ → 无超调、快速响应
传递函数： [ M(s) = \frac{Y_m(s)}{R(s)} = \frac{16}{s^2 + 5.6 s + 16} ]
B. 控制律结构（直接 MRAC）
采用状态反馈形式（需估计速度）： [ u(t) = \theta_1(t) r(t) - \theta_2(t) y(t) - \theta_3(t) \dot{y}(t) ]
若速度不可测，可用微分器或观测器估计（见后文扩展）
C. 自适应律（Lyapunov 设计）
定义误差：$e = y - y_m$
参数更新律： [ \begin{aligned} \dot{\theta}_1 &= -\gamma_1 e r \ \dot{\theta}_2 &= \gamma_2 e y \ \dot{\theta}_3 &= \gamma_3 e \dot{y} \end{aligned} ]
其中 $\gamma_i > 0$ 为自适应增益。
四、方案二：自校正控制（STC）——间接自适应
A. 思想：先辨识参数，再设计控制器
- 在线辨识：用递推最小二乘（RLS）估计 $\hat{b}$
- 控制器重构：设计极点配置控制器 $u = \frac{1}{\hat{b}} (u_{\text{des}})$
B. RLS 辨识算法
系统离散化（采样周期 $T_s = 0.01 , \text{s}$）： [ y(k) = -a_1' y(k-1) - a_2' y(k-2) + b' u(k-1) ]
回归向量：$\phi(k) = [-y(k-1), -y(k-2), u(k-1)]^T$ 参数向量：$\theta = [a_1', a_2', b']^T$
RLS 更新： [ \begin{aligned} K(k) &= \frac{P(k-1)\phi(k)}{\lambda + \phi^T(k) P(k-1) \phi(k)} \ \hat{\theta}(k) &= \hat{\theta}(k-1) + K(k) [y(k) - \phi^T(k) \hat{\theta}(k-1)] \ P(k) &= \frac{1}{\lambda} [P(k-1) - K(k) \phi^T(k) P(k-1)] \end{aligned} ]
