医疗AI场景下算法编程的深度解析（2026新生培训讲稿）（四）

第7章 k-均值算法：患者分群与精准医疗

在医疗领域，我们常常面临这样的问题：患者是否可以划分为不同的亚型？不同亚型是否有不同的疾病进展模式或治疗反应？这些问题属于无监督学习的范畴。k-均值（k-means）聚类算法是最经典、最常用的无监督学习算法之一，它能够将数据划分为 k 个簇，使得同一簇内的样本高度相似，不同簇间的样本差异显著。本章将从算法原理出发，深入解析 k-均值在医疗场景中的应用，并通过实战案例展示如何利用 k-均值发现慢性病患者的潜在亚型，为精准医疗提供依据。

7.1 算法原理

7.1.1 聚类问题概述

聚类是一种无监督学习任务，目标是将数据集中的样本划分为若干个组（簇），使得同一组内的样本尽可能相似，不同组间的样本尽可能不同。与分类不同，聚类不依赖于预先标记的类别，而是从数据本身发现结构。

7.1.2 k-均值算法的核心思想

k-均值算法试图将 n 个样本划分到 k 个簇中，使得每个样本到其所属簇中心的距离平方和最小。簇中心是簇内所有样本的均值（因此得名“k-均值”）。

设数据集为 ( X = {x^{(1)}, x^{(2)}, …, x^{(n)}} )，每个样本为 p 维向量。算法将样本划分到 k 个簇 ( C = {C_1, C_2, …, C_k} )，目标是极小化目标函数（惯性，inertia）：

[
J = \sum_{j=1}^{k} \sum_{x \in C_j} | x - \mu_j |^2
]

其中 ( \mu_j ) 是簇 ( C_j ) 的中心（均值向量）。

7.1.3 算法步骤

k-均值算法通过迭代优化实现上述目标，具体步骤如下：

1. 初始化：随机选择 k 个样本作为初始簇中心。
2. 分配：计算每个样本到各簇中心的距离（通常为欧氏距离），将样本分配到距离最近的簇中心。
3. 更新：对于每个簇，重新计算该簇内所有样本的均值，作为新的簇中心。
4. 重复：重复步骤 2 和 3，直到簇中心不再发生显著变化（或达到最大迭代次数）。

算法收敛时，样本分配和簇中心将不再改变。

7.1.4 距离度量

k-均值通常使用欧氏距离，但理论上可使用其他距离度量。需要注意的是，距离度量的选择会影响聚类结果，应根据数据特点选择。对于医疗数据，常混合数值型和类别型特征，此时可能需要将类别变量进行独热编码，或使用专门的距离度量（如 Gower 距离），但 k-均值对类别型特征处理不佳，通常需先将类别变量数值化或使用其他聚类算法（如 k-prototypes）。

7.1.5 k值的选择

k 值（簇数）是 k-均值最重要的超参数。常见的选择方法有：

1. 肘部法则（Elbow Method）

计算不同 k 值下的目标函数值（惯性），绘制曲线。随着 k 增加，惯性递减，但当 k 接近真实簇数时，惯性下降速度减缓，曲线出现“肘部”。肘部对应的 k 值为较优选择。

2. 轮廓系数（Silhouette Coefficient）

轮廓系数结合了簇内紧密度和簇间分离度。对于每个样本 i，计算：

• a(i)：样本 i 到同簇其他样本的平均距离（簇内不相似度）。
• b(i)：样本 i 到其他簇样本的平均距离的最小值（簇间不相似度）。
  样本 i 的轮廓系数为：
  [
  s(i) = \frac{b(i) - a(i)}{\max{a(i), b(i)}}
  ]
  s(i) 取值范围 [-1,1]，越接近 1 表示聚类效果越好。整体轮廓系数是所有样本的平均值。

3. Calinski-Harabasz 指数

基于簇间离差矩阵与簇内离差矩阵的比值，越大表示聚类效果越好。

4. 领域知识

在某些医疗应用中，k 值可能由临床意义决定，例如已知疾病有 3 种亚型，可设 k=3。

7.1.6 算法复杂度

k-均值的时间复杂度约为 O(n * k * I * p)，其中 n 为样本数，k 为簇数，I 为迭代次数，p 为特征维数。对于大规模数据，k-均值是相对高效的算法。

7.1.7 局限性

• 需预先指定 k：实际中 k 往往未知。
• 对初始值敏感：不同的初始中心可能导致不同的聚类结果。
• 假设簇为凸形：k-均值假设簇是球形且大小相近，对非凸形状或大小悬殊的簇效果不佳。
• 对噪声和异常值敏感：异常点会显著影响簇中心。
• 只能处理数值型数据：对类别型数据需转换。

7.2 医疗应用场景

7.2.1 患者分群与疾病亚型发现

这是 k-均值在医疗中最经典的应用。通过聚类，可将患者划分为具有相似临床特征、生物标志物或基因组特征的亚组，每个亚组可能对应不同的疾病机制、预后或治疗反应。例如：

• 糖尿病亚型：基于血糖、BMI、胰岛素抵抗、年龄等指标，将糖尿病患者分为不同亚型（如严重自身免疫性糖尿病、严重胰岛素缺乏性糖尿病、严重胰岛素抵抗性糖尿病等），不同亚型并发症风险和治疗方法不同。
• 心力衰竭表型：通过临床指标（如射血分数、BNP、肾功能）聚类，识别不同心衰表型，指导个性化治疗。
• COVID-19 临床分型：基于症状、实验室指标、影像特征，将 COVID-19 患者分为轻症、重症、危重症等亚型。

7.2.2 医学影像分割

图像分割是将图像划分为若干有意义的区域。k-均值可用于初步的医学图像分割，例如：

• 脑 MRI 分割：将脑组织分为灰质、白质、脑脊液等。
• 肿瘤区域识别：在 CT 或 MRI 中分割肿瘤区域（需结合其他后处理）。
• 眼底图像分割：分割视盘、血管等结构。

虽然深度学习在图像分割领域更为强大，但 k-均值因其简单、快速，仍可用于预处理或快速原型验证。

7.2.3 基因表达数据分析

在基因组学中，聚类广泛用于发现共表达基因模块或样本亚型。例如：

• 肿瘤亚型发现：基于基因表达谱，将肿瘤样本聚类为不同分子亚型（如乳腺癌的 luminal A、luminal B、HER2 过表达、基底样等）。
• 时间序列基因表达聚类：将随时间变化的基因表达模式聚类，识别功能相关的基因群。

7.2.4 医疗资源优化与运营管理

聚类可用于医疗资源的优化配置。例如：

• 患者就诊模式聚类：基于就诊时间、科室、诊断等，聚类患者群体，优化预约排程和资源配置。
• 医院床位需求预测：对不同类型患者聚类，分析其住院时长规律，辅助床位管理。

7.2.5 异常检测与质量控制

k-均值可用于识别异常值——那些离所有簇中心都很远的样本可能是数据录入错误、罕见病例或设备故障。在医疗质量控制中，可通过聚类识别异常诊疗模式。

7.2.6 药物研发

在药物研发中，聚类可用于化合物筛选、患者分层（临床试验入组）、药物反应预测等。例如，基于患者基因特征聚类，识别可能对特定靶向药物敏感的患者群体。

7.2.7 健康管理人群画像

在公共卫生领域，可利用聚类对人群进行健康画像，如将人群分为“健康生活方式型”、“慢性病高风险型”、“多病共存型”等，为制定针对性干预措施提供依据。

7.3 案例实战：基于k-means的慢性病患者聚类分析

本节将使用一个真实的慢性病相关数据集，通过 k-均值聚类发现患者的潜在亚型。我们将使用 糖尿病进展数据集（Diabetes dataset）来自 scikit-learn，该数据集包含 442 名糖尿病患者的 10 个基线变量（年龄、性别、BMI、平均血压、六个血清测量值）以及一年后疾病进展的定量测量。虽然这是一个回归数据集，但我们可以基于基线特征进行聚类，观察不同簇的疾病进展差异。

7.3.1 数据集介绍

from sklearn.datasets import load_diabetes import pandas as pd import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns from sklearn.preprocessing import StandardScaler from sklearn.cluster import KMeans from sklearn.metrics import silhouette_score import warnings warnings.filterwarnings('ignore')# 加载数据 diabetes = load_diabetes() X = pd.DataFrame(diabetes.data, columns=diabetes.feature_names) y = pd.Series(diabetes.target, name='target')print(X.shape)print(X.head())

输出：

(442, 10) age sex bmi bp s1 s2 s3 \ 0 0.038076 0.050680 0.061696 0.021872 -0.044223 -0.034821 -0.043401 1 -0.001882 -0.044642 -0.051474 -0.026328 -0.008449 -0.019163 0.074412 2 0.085299 0.050680 0.044451 -0.005670 -0.045599 -0.034194 -0.032356 3 -0.089063 -0.044642 -0.011595 -0.036656 0.012191 0.024991 -0.036038 4 0.005383 -0.044642 -0.036385 0.021872 0.003935 0.015596 0.008142 s4 s5 s6 0 -0.002592 0.019907 -0.017646 1 -0.039493 -0.068332 -0.092204 2 -0.002592 0.002861 -0.025930 3 0.034309 0.022688 -0.009362 4 -0.002592 -0.031988 -0.046641 

特征已标准化（均值为0，方差为1），这是原始数据集提供的预处理。目标变量 target 是疾病进展一年后的定量测量（数值越大表示疾病进展越严重）。

7.3.2 数据预处理

虽然特征已经标准化，但我们需要确认数据无缺失值，并考虑是否需要进一步处理。由于所有特征均为数值型，且已标准化，可直接用于聚类。

# 检查缺失值print(X.isnull().sum())

无缺失。

7.3.3 确定最佳k值

我们使用肘部法则和轮廓系数选择最佳 k 值。

inertia =[] silhouette_scores =[] K_range =range(2,11)for k in K_range: kmeans = KMeans(n_clusters=k, random_state=42, n_init=10) kmeans.fit(X) inertia.append(kmeans.inertia_) silhouette_scores.append(silhouette_score(X, kmeans.labels_))# 绘制肘部法则曲线 plt.figure(figsize=(12,5)) plt.subplot(1,2,1) plt.plot(K_range, inertia, marker='o') plt.xlabel('k') plt.ylabel('惯性') plt.title('肘部法则') plt.subplot(1,2,2) plt.plot(K_range, silhouette_scores, marker='o') plt.xlabel('k') plt.ylabel('轮廓系数'