摘要
锥形束计算机断层扫描（Cone Beam Computed Tomography, CBCT）凭借其结构紧凑、辐射剂量低、成像速度快等优势，在医学影像领域得到广泛应用。FDK 算法作为 CBCT 图像重建的主流近似解析算法，通过投影数据预加权、滤波及反投影等核心步骤，实现了从二维投影数据到三维密度函数的高效重建。本文基于 FDK 算法的原始理论及后续发展研究，系统阐述其技术背景、核心技术原理与详细技术路线，明确各步骤的数学模型与实现逻辑，并通过流程图直观呈现重建全流程，为 FDK 算法的工程实现与应用提供技术参考。
1 技术背景
在医学诊断与治疗领域，三维影像重建技术是获取人体内部结构信息的关键手段。早期 CT 成像多采用扇束扫描模式，需通过多层连续扫描拼接实现三维成像，存在辐射剂量高、成像效率低、机械结构复杂等不足。随着平板探测器技术的发展，CBCT 系统应运而生，其采用锥形 X 射线束与二维平板探测器组合，单次旋转即可获取物体的完整二维投影数据，大幅简化了机械结构，降低了辐射剂量，同时提升了成像速度，广泛应用于口腔正畸、骨科导航、肿瘤放疗定位等场景。
从重建算法分类来看，CBCT 重建算法主要分为解析算法与迭代算法。迭代算法虽重建精度较高，但存在计算复杂度高、重建耗时久、内存占用大等问题，难以满足临床实时成像需求。解析算法则通过数学解析推导实现重建，具有计算效率高、易于工程实现的优势，成为实际临床系统的主流选择。在解析算法中，FDK 算法由 Feldkamp、Davis 和 Kress 于 1984 年提出，是二维扇束滤波反投影算法向三维锥形束场景的自然扩展，其数学形式简洁，在适度锥角条件下可获得良好的重建效果，克服了早期锥束重建算法对扫描轨迹的严格限制（如需球面扫描轨迹），显著降低了系统实现难度，至今仍是医学 CBCT 系统中应用最广泛的重建算法之一。
尽管 FDK 算法存在锥角增大时重建伪影加剧的固有缺陷，但后续学者基于该算法衍生出一系列改进算法（如 G-FDK、T-FDK、HT-FDK 等），有效拓展了其应用场景，提升了重建精度与适用范围，进一步巩固了其在医学 CBCT 重建领域的核心地位。
2 技术原理
2.1 核心几何模型
FDK 算法基于圆轨道扫描几何模型，其核心几何关系如图 1 图 2 所示，图 2 中心为虚拟探测器。定义如下关键参数：
图 1 几何关系示意图 1
图 2 几何关系示意图 2
- X 射线源 S 到旋转轴（Z 轴）的距离为 d（源到旋转轴距离 SAD）；
- X 射线源 S 到平板探测器平面的距离为 D（源到探测器距离 SID），满足 D = d + d'（d'为旋转轴到探测器平面距离）；
- 投影角度β：X 射线源与旋转轴的连线在 X-Y 平面内与 X 轴的夹角，范围为[0, 2π]；
- 探测器坐标 (a, b)：虚拟平板探测器上像素的二维坐标，a 为水平方向（平行于旋转轴所在平面），b 为垂直方向（垂直于旋转轴所在平面）；
- 重建体素坐标 (x, y, z)：待重建三维空间中点的坐标，旋转轴为 Z 轴，原点为旋转轴与中平面（垂直于 Z 轴且过旋转轴中点的平面）的交点。
在该几何模型中，X 射线源与平板探测器围绕旋转轴同步旋转，每旋转一个角度β，探测器采集一幅二维投影图像，按空间几何比例关系映射至虚拟探测器 p(β, a, b)，该投影数据本质上是 X 射线穿过物体后，在探测器上形成的强度分布，与物体内部的密度分布满足一定的积分关系。
2.2 核心算法推导
FDK 算法的核心思想是将三维锥束重建问题分解为'加权 - 滤波 - 反投影'的分步处理过程，其本质是对二维扇束滤波反投影算法的三维扩展，通过引入锥角相关的加权因子，修正锥形束与扇束的几何差异。
首先，基于 Radon 变换理论，物体的二维投影数据 p(l, θ) 是密度函数 f(r, φ) 沿特定直线的线积分（扇束场景），其表达式为：
