优化算法——拟牛顿法之DFP算法
一、牛顿法 在博文“ ”中介绍了牛顿法的思路，牛顿法具有二阶收敛性，相比较最速下降法，收敛的速度更快。在牛顿法中使用到了函数的二阶导数的信息，对于函数
，其中
表示向量。在牛顿法的求解过程中，首先是将函数
在
处展开，展开式为：
其中，
，表示的是目标函数在
的梯度，是一个向量。
，表示的是目标函数在
处的Hesse矩阵。省略掉最后面的高阶无穷小项，即为：
上式两边对
求导，即为：
在基本牛顿法中，取得最值的点处的导数值为
，即上式左侧为
。则：
求出其中的
：
从上式中发现，在牛顿法中要求Hesse矩阵是可逆的。 当
时，上式为：
此时，是否可以通过
，
，
和
模拟出Hesse矩阵的构造过程？此方法便称为拟牛顿法(QuasiNewton)，上式称为拟牛顿方程。在拟牛顿法中，主要包括DFP拟牛顿法，BFGS拟牛顿法。
二、DFP拟牛顿法
1、DFP拟牛顿法简介 DFP拟牛顿法也称为DFP校正方法，DFP校正方法是第一个拟牛顿法，是有Davidon最早提出，后经Fletcher和Powell解释和改进，在命名时以三个人名字的首字母命名。 对于拟牛顿方程：
化简可得：
令
，可以得到：
在DFP校正方法中，假设：
2、DFP校正方法的推导 令：
，其中
均为
的向量。
，
。 则对于拟牛顿方程
可以简化为：
将
代入上式：
将
代入上式：
已知：
为实数，
为
的向量。上式中，参数
和
解的可能性有很多，我们取特殊的情况，假设
，
。则：
代入上式：
令
，
，则：
则最终的DFP校正公式为：
3、DFP拟牛顿法的算法流程 设
对称正定，
由上述的DFP校正公式确定，那么
对称正定的充要条件是
。 在博文“ ”中介绍了非精确的线搜索准则：Armijo搜索准则，搜索准则的目的是为了帮助我们确定学习率，还有其他的一些准则，如Wolfe准则以及精确线搜索等。在利用Armijo搜索准则时并不是都满足上述的充要条件，此时可以对DFP校正公式做些许改变：
DFP拟牛顿法的算法流程如下：
4、求解具体的优化问题 求解无约束优化问题
其中，
。 python程序实现：
- function.py
#coding:UTF-8
'''
Created on 2015年5月19日
@author: zhaozhiyong
'''
from numpy import *
#fun
def fun(x):
return 100 * (x[0,0] ** 2 - x[1,0]) ** 2 + (x[0,0] - 1) ** 2
#gfun
def gfun(x):
result = zeros((2, 1))
result[0, 0] = 400 * x[0,0] * (x[0,0] ** 2 - x[1,0]) + 2 * (x[0,0] - 1)
result[1, 0] = -200 * (x[0,0] ** 2 - x[1,0])
return result
- dfp.py
#coding:UTF-8
'''
Created on 2015年5月19日
@author: zhaozhiyong
'''
from numpy import *
from function import *
def dfp(fun, gfun, x0):
result = []
maxk = 500
rho = 0.55
sigma = 0.4
m = shape(x0)[0]
Hk = eye(m)
k = 0
while (k < maxk):
gk = mat(gfun(x0))#计算梯度
dk = -mat(Hk)*gk
m = 0
mk = 0
while (m < 20):
newf = fun(x0 + rho ** m * dk)
oldf = fun(x0)
if (newf < oldf + sigma * (rho ** m) * (gk.T * dk)[0,0]):
mk = m
break
m = m + 1
#DFP校正
x = x0 + rho ** mk * dk
sk = x - x0
yk = gfun(x) - gk
if (sk.T * yk > 0):
Hk = Hk - (Hk * yk * yk.T * Hk) / (yk.T * Hk * yk) + (sk * sk.T) / (sk.T * yk)
k = k + 1
x0 = x
result.append(fun(x0))
return result
- testDFP.py
#coding:UTF-8
'''
Created on 2015年5月19日
@author: zhaozhiyong
'''
from bfgs import *
from dfp import dfp
import matplotlib.pyplot as plt
x0 = mat([[-1.2], [1]])
result = dfp(fun, gfun, x0)
n = len(result)
ax = plt.figure().add_subplot(111)
x = arange(0, n, 1)
y = result
ax.plot(x,y)
plt.show()
5、实验结果
