二分查找算法简介及在排序数组中查找元素的首尾位置

18. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目描述： 给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。如果数组中不存在目标值，返回 [-1, -1]。

解法：

算法思路： 使用二分思想，根据数据的性质，在某种判断条件下将区间一分为二，然后舍去其中一个区间，再在另一个区间内查找。

方便叙述，用 x 表示该元素，resLeft 表示左边界，resRight 表示右边界。

寻找左边界思路： 寻找左边界时需要注意以左边界划分的两个区间的特点：

• 左边区间 [left, resLeft - 1] 都是小于 x 的；
• 右边区间（包括左边界）[resLeft, right] 都是大于等于 x 的。

关于 mid 的落点，分为两种情况：

• 当 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候，也就是 arr[mid] < target。说明 [left, mid] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1 的位置，继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界；
• 当 mid 落在 [resLeft, right] 的区间的时候，也就是 arr[mid] >= target。说明 [mid + 1, right]（因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界。

由此，就可以通过二分来快速寻找左边界。 注意：这里找中间元素需要向下取整。因为后续移动左右指针的时候，左指针 left = mid + 1 会向后移动，而右指针 right = mid 可能会原地踏步（例如剩下 1, 2 两个元素，left=1, right=2, mid=2。若向上取整则 mid=2，更新后 left,right,mid 不变，陷入死循环）。因此当 right = mid 时，要向下取整。

寻找右边界思路： 寻找右边界时注意到右边界的特点：

• 左边区间（包括右边界）[left, resRight] 都是小于等于 x 的；
• 右边区间 [resRight + 1, right] 都是大于 x 的。

关于 mid 的落点，分为两种情况：

• 当 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候，说明 [left, mid - 1]（mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果）都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid 的位置；
• 当 mid 落在 [resRight + 1, right] 的区间的时候，说明 [mid, right] 内的元素是可以舍去的，此时更新 right 到 mid - 1 的位置。

由此，就可以通过二分来快速寻找右边界。 注意：这里找中间元素需要向上取整。因为后续移动左右指针的时候，左指针 left = mid 可能会原地踏步（例如剩下 1, 2 两个元素，left=1, right=2, mid=1。若向下取整则 mid=1，更新后 left,right,mid 不变，陷入死循环）。因此当 left = mid 时，要向上取整。

C++ 算法代码：

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        int begin = 0, end = 0, mid = 0;
        if (nums.empty()) {
            return {-1, -1};
        }
        // 1. 查找区间左端点
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while (left < right) {
            mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] < target)
                left = mid + 1;
            else
                right = mid;
        }
        if (nums[left] == target)
            begin = left;
        else
            return {-1, -1};

        // 2. 查找区间右端点
        left = 0, right = nums.size() - 1;
        while (left < right) {
            mid = left + (right - left + 1) / 2; // 向上取整
            if (nums[mid] <= target)
                left = mid;
            else
                right = mid - 1;
        }
        if (nums[right] == target)
            end = right;
        else
            return {-1, -1};

        return {begin, end};
    }
};

总结

本文讲解了二分查找的基础应用及变体，重点在于处理边界条件和避免死循环。掌握左右边界的收缩逻辑是解决此类问题的关键。