029 和为 K 的子数组
力扣链接：560. 和为 K 的子数组
题目描述：
1.1 算法思路：前缀和 + 哈希表
参考下图：
设为数组中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0 , i] 区间内所有元素的和。
如果想知道有多少个【以 i 结尾的和为 k 的子数组】，就要找到有多少个起始位置为 x1，x2，x3...使得 [x , i] 区间内的所有元素的和为 k。那么 [0 , x] 区间内的和是不是就是 sum[i] - k 了。于是问题就变成——
找到在 [0 , i - 1] 区间内，有多少前缀和等于 sum[i] - k 的即可。
我们不需要真的去初始化一个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，有多少个前缀和会等于 sum[i] - k。因此，我们仅需用一个哈希表，一边求当前位置的前缀和，一边存下之前每一种前缀和出现的次数。
1.2 算法实现
1.2.1 C++ 实现
class Solution {
public:
int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
unordered_map <int,int> hash; // 统计前缀和出现的次数
// 细节 hash[0] = 1; // 用一个变量标记一下前缀和
int sum = 0, ret = 0;
for(auto x : nums) {
sum += x; // 计算当前位置的前缀和
if(hash.count(sum - k)) ret += hash[sum - k];
hash[sum]++;
}
return ret;
}
};
时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)。
1.2.2 Java 实现
// Java 写法
class Solution {
public int subarraySum(int[] nums, int k) {
Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>();
hash.put(0, 1);
int sum = 0, ret = 0;
for (int x : nums) {
sum += x; // 计算当前位置的前缀和
ret += hash.getOrDefault(sum - k, 0); // 统计结果
hash.put(sum, hash.getOrDefault(sum, 0) + 1); // 把当前的前缀和丢到哈希表里面
}
return ret;
}
}
时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)。
030 和可被 K 整除的子数组
本题是某一年的蓝桥杯竞赛原题。
力扣链接：974. 和可被 K 整除的子数组
题目描述：
2.1 解法一：暴力枚举
暴力解法就是枚举出所有的子数组的和，这里不再赘述。
2.2 解法二：前缀和（余数）存在哈希表中
2.2.1 补充知识
2.2.1.1 （数学公式）同余定理
如果 (a - b）% n == 0，那么我们可以得到一个结论：a % n == b % n。用文字叙述就是，如果两个数相减的差能被 n 整除，那么这两个数对 n 取模的结果相同。
例如：(26 - 2) %12 == 0，那么 26 %12 == 2 % 12 == 2。
2.2.1.2 c++ 中负数取模的结果，以及如何修正【负数取模】的结果
（1）c++ 中关于负数的取模运算，结果是【把负数当成正数，取模之后的结果加上一个负号】。
例如：-1 % 3 = (-1 % 3) = -1
（2）因为有负数，为了防止发生【出现负数】的结果，以（a%n+n）%n 的形式输出保证为正。
例如：-1 % 3 =（-1 % 3 + 3） % 3 = 2
2.2.2 算法思路
思路与 560.和为 K 的子数组 这道题的思路相似。
还是用这张图——
设为数组中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0，i] 区间内所有元素的和。
1、想知道有多少个「以 i 为结尾的可被 k 整除的子数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1，x2，x3...使得 [x，i] 区间内的所有元素的和可被 k 整除。
2、设 [0，x - 1] 区间内所有元素之和等于 a，[0，i] 区间内所有元素的和等于，可得 (b - a) % k == 0。
3、由同余定理可得，[0，x - 1] 区间与 [0，i] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成——
（1）找到在 [0，i－1] 区间内，有多少前缀和的余数等于 sum[i] % k 的即可。
我们不用真的初始化一个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，有多少个前缀和等于 sum[i] - k。因此，我们仅需用一个哈希表，一边求当前位置的前缀和，一边存下之前每一种前缀和出现的次数。
2.3 算法实现
2.3.1 C++ 实现
class Solution {
public:
int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
unordered_map<int,int> hash; // 统计前缀和出现的次数
// 处理细节
hash[0] = 1; // 这里存的依旧是余数，只不过 0 % k 还是 0，所以这里存的是 0 这个数的余数
int sum = 0, ret = 0;
for(auto x : nums) {
sum += x; // 算出当前位置的前缀和
// 求出修正后的余数
int r = (sum % k + k) % k;
if(hash.count(r)) ret += hash[r]; // 统计结果
hash[r]++; // 继续遍历
}
return ret;
}
};
时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)。
2.3.2 Java 实现
// Java 写法
class Solution {
public int subarraysDivByK(int[] nums, int k) {
Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>();
hash.put(0 % k, 1);
int sum = 0, ret = 0;
for (int x : nums) {
sum += x; // 计算当前位置的前缀和
int r = (sum % k + k) % k;
ret += hash.getOrDefault(r, 0); // 统计结果
hash.put(r, hash.getOrDefault(r, 0) + 1);
}
return ret;
}
};
时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)。
