二分查找算法核心思路与经典题解

注意：这里找中间元素需要向下取整。

因为后续移动左右指针时：

● 左指针：left=mid+1，是会向后移动的，因此区间数会缩小的；

● 右指针：right=mid，可能会原地踏步（如：若向上取整，如果剩下两个元素，left==1，right==2，mid==2。更新区间后，left，right，mid 的值没有改变，就会陷入死循环）。

因此一定要注意，当 right==mid 时，要向下取整。

寻找右边界思路：

● 寻找右边界： ● 用 resRight 表示右边界； ● 我们注意到右边界的特点： ▢ 左边区间（包括右边界）[left,resRight] 都是小于等于 x 的； ▢ 右边区间 [resRight+1,right] 都是大于 x 的； ● 因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下面两种情况： ● 当我们的 mid 落在 [left,resRight] 区间时，说明 [left,mid-1]（mid 不可以舍去，因为可能是最终结果）都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid 的位置； ● 当 mid 落在 [resRight+1,right] 的区间的时候，说明 [mid,resRight] 内元素是可以舍去的，此时更新 right 到 mid-1 位置； ● 由此，就可以通过二分，来快速寻找右边界；

注意：这里找中间元素需要向上取整。

因为后续移动左右指针的时候：

● 左指针：left=mid，可能会原地踏步（如：若向下取整，如果剩下 1，2 两个元素，left==1，right==2，mid==1。更新区间之后，left，right，mid 的值没有改变，就会陷入死循环）。

右指针：right=mid-1，是会向前移动的，因此区间是会缩小的；

因此一定要注意，当 right=mid-1 时，要向上取整。

二分查找算法总结：

1. 关于什么时候用三段式，还是二段式中的某一个，一定不要强行去用，而是通过具体的问题分析情况，根据查找区间的变化确定指针的转移过程，从而选择一个模板。

2. 当选择两段式的模板时： ● 在求 mid 时，只有 right-1 的情况下，才会向上取整（即 +1，取中间数时）

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        //数组为空时
        if(nums.size()==0) return {-1,-1};
        int begin=0;
        int left=0,right=nums.size()-1;
        //求区间左端点
        while(left<right){
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]<target) left=mid+1;
            else right=mid;
        }
        if(nums[left]!=target) return {-1,-1};
        else begin=left;
        //求区间右端点
        left=0,right=nums.size()-1;
        //left 没必要重新置为 0，因为它查找左端点后，一定不会超过右端点
        while(left<right){
            int mid=left+(right-left+1)/2;
            if(nums[mid]<=target) left=mid;
            else right=mid-1;
        }
        return {begin,right};
    }
};

3. 搜索插入位置

算法思路：

a. 分析插入位置左右两侧区间上元素的特点： 设插入位置的坐标为 index，根据插入位置的特点可以知道： ● [left,index-1] 内的所有元素均是小于 target 的； ● [index,right] 内的所有元素均是大于等于 target 的；

b. 设 left 为本轮查询的左边界，right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信息，分析下一轮查询的区间： ● 当 nums[mid]>=target 时，说明 mid 落在了 [index,right] 区间上，mid 左边包括 mid 本身，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [left,mid] 上。因此，更新 right 到 mid 位置，继续查找。 ● 当 nums[mid]<target 时，说明 mid 落在了 [left,index-1] 区间上，mid 右边但不包括 mid 本身，可能是最终结果，索引我们接下来查找的区间 [mid+1,right] 上。因此，更新 left 到 mid+1 位置，继续查找。

c. 直到我们的查找区间长度变为 1，即 left==right 时，left 或 right 所在的位置就是我们要找的结果。

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int left=0,right=nums.size();
        while(left<right){
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]<target) left=mid+1;
            else right=mid;
        }
        return left;
    }
};

4. x 的平方根

算法思路一（暴力）：

依次枚举【0，x】之间的所有数 i：（这里没有必要研究是否枚举到 x/2 还是 x/2+1。因为我们找到结果之后直接就返回了，往后的情况就不会再判断。反而研究枚举空间，既耽误时间，又可能出错）

● 若 ii==x，直接返回 x； ● 若 ii>x，说明之前的一个数是结果，返回 i-1

由于 i*i 可能超过 int 的最大值，因此使用 long long 类型

class Solution{
public:
    int mySqrt(int x){
        //防止溢出
        long long i=0;
        for(i=0;i<=x;i++){
            if(i*i==x) return i;
            if(i*i>x) return i-1;
        }
        return -1;
    }
};

算法思路二（二分）：

设 x 的平方根的最终结果为 index： a. 分析 index 左右两次数据的特点： ● 【0，index】之间的元素平方后都是小于等于 x 的； ● 【index+1，x】之间的元素，平方后都是大于 x 的。 由此可以使用二分查找算法

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        //可将区间分为小于等于 x 的 大于 x 的
        int left=1,right=x;
        if(x<1) return 0;
        while(left<right){
            //long long 防止溢出
            long long mid=left+(right-left+1)/2;
            if(mid*mid<=x) left=mid;
            else right=mid-1;
        }
        return left;
    }
};

5. 山脉数组的峰顶索引

算法思路一（暴力）：

顶峰的特点：比两边的元素都要大。

因此，我们可以遍历数组内的每一个元素，找到某一个元素比两边的元素大即可。

class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {
        int n=arr.size();
        //遍历数组内每一个元素，直到找到峰顶
        for(int i=1;i<n-1;i++){
            //峰顶满足条件
            if(arr[i]>arr[i-1]&&arr[i]>arr[i+1]) return i;
        }
        return -1;
    }
};

算法思路二（二分）：

1. 分析峰顶位置的数据特点，以及山峰两旁的数据的特点： ● 峰顶数据特点：arr[i]>arr[i-1]&&arr[i]>arr[i+1]; ● 峰顶左边的数据特点：arr[i]>arr[i-1]&&arr[i]<arr[i+1],即呈上升趋势； ● 峰顶右边数据的特点：arr[i]<arr[i-1]&&arr[i]>arr[i+1],即呈下降趋势。

2. 因此，根据 mid 位置的信息，我们可以分为下面三种情况： ● 若 mid 位置呈上升趋势，说明我们接下来要在【mid+1，right】区间继续搜索； ● 若 mid 位置呈下降趋势，说明我们接下来要在【left，mid-1】区间搜索； ● 若 mid 位置就是山峰，直接返回结果。

class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {
        //峰顶一定不会位于首尾
        int left=1,right=arr.size()-2;
        while(left<right){
            int mid=left+(right-left+1)/2;
            if(arr[mid]>arr[mid-1]) left=mid;
            else right=mid-1;
        }
        return left;
    }
};

6. 寻找峰值

解法思路（二分）：

寻找二段性：

任取一点 i，与下一个点 i+1，会有如下两种情况：

● arr[i]>arr[i+1]:此时【左侧区域】一定会存在山峰（因为最左侧是负无穷），那么我们可以取左侧寻找结果；

● arr[i]<arr[i+1]：此时【右侧区域】一定会存在山峰（因为最右侧是负无穷），那么我们可以取右侧寻找结果。

当我们找到【二段性】时，就可以尝试用【二分查找】算法解决问题。

class Solution {
public:
    //3 种情况，1 一直递减；2 一直递增；3 有增有减
    int findPeakElement(vector<int>& nums) {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(left<right){
            int mid=left+(right-left)/2;
            //左边一定存在峰值，右边不一定 [左边] [右边]
            if(nums[mid]<nums[mid+1]) left=mid+1;
            //右边一定存在峰值，左边不一定
            else right=mid;
        }
        return left;
    }
};

7. 寻找旋转排序数组中的最小值

算法思路（二分）：

二分的本质：找到一个判断标准，使得查找区间能够一分为二。

通过图像我们可以发现，【A，B】区间内的点都是严格大于 D 点的值的，C 点的值是严格小于 D 的点的值的。但是当【C，D】区间只有一个元素的时候，C 点的值是可能等于 D 点的值的。

因此，初始化左右两个指针 left，right：

然后根据 mid 的落点，我们可以这样划分下一次查询的区间：

● 当 mid 在【A，B】区间的时候，也就是 mid 位置的值严格大于 D 点的值，下一次查询区间在【mid+1，right】上；

● 当 mid 在【C，D】区间的时候，也就是 mid 位置的值严格小于等于 D 点的值，下次查询区间在【left，mid】上。

当区间长度变成 1 的时候，就是我们要找的结果。

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        int x=nums[right];
        while(left<right){
            int mid=left+(right-left)/2;
            //与数组中最后一个值比较
            if(nums[mid]>x) left=mid+1;
            else right=mid;
        }
        return nums[left];
    }
};

也可以用左侧为基准值，但要注意排除数组为升序的情况：

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        int x=nums[left];//以左端点为基准值
        if(x<nums[right]) return nums[left];
        while(left<right){
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]>=x) left=mid+1;//此时左端点一定不是最小值
            else right=mid;
        }
        return nums[left];
    }
};

8. 点名

算法思路（二分）：

在这个升序的数组中，我们发现：

● 在第一个缺失位置的左边，数组内的元素都是与数组的下标相等的；

● 在第一个缺失位置的右边，数组内的元素与数组下标是不相等的。

因此，我们可以利用这个【二段性】，来使用【二分查找】算法。

class Solution {
public:
    int takeAttendance(vector<int>& records) {
        int left=0,right=records.size()-1;
        while(left<right){
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(mid==records[mid]) left=mid+1;
            else right=mid;
        }
        //防止缺失的是最后一个数字
        if(left==records[left]) return left+1;
        return left;
    }
};