前缀和算法详解与经典例题

前缀和相关题解

1. 前缀和

算法思路：

a. 先预处理出来一个【前缀和】数组：

用 dp[i] 表示：[1, i] 区间内所有元素的和，那么 dp[i-1] 里面存的就是 [1, i-1] 区间内所有元素的和，可得到递推公式：dp[i] = dp[i-1] + arr[i]。

b. 使用前缀和数组，【快速】求出【某一个区间内】所有元素的和：

当访问的区间是 [l, r] 时：区间内所有元素的和为：dp[r] - dp[l-1]。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n, q;
    cin >> n >> q;
    vector<int> arr(n + 1);
    for (int i = 1; i < n + 1; i++) cin >> arr[i];
    
    // 初始化一个前缀和数组
    vector<long long> dp(n + 1); // 防止溢出
    for (int i = 1; i < n + 1; i++) dp[i] = dp[i - 1] + arr[i];
    
    int l, r;
    while (q--) {
        cin >> l >> r;
        cout << dp[r] - dp[l - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

2. 二维前缀和

算法思路：

类比一维数组的形式，若我们能处理出来从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这片区域内所有元素的累加和，就可以在 O(1) 的时间内，搞定矩阵内任意区域内所有元素的累加和。因此我们接下来仅仅需完成两步即可：

第一步：搞出来前缀和矩阵