前缀和算法实战：从一维到二维及哈希结合应用

3. 【模板】二维前缀和 (OJ 题)

算法思路

类比于一维数组的形式，如果我们能处理出来从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这片区域内所有元素的累加和，就可以在 O(1) 的时间内，搞定矩阵内任意区域内所有元素的累加和。因此我们接下来仅需完成两步即可：

第一步：搞出来前缀和矩阵

这里就要用到一维数组里面的拓展知识，我们要在矩阵的最上面和最左边添加上一行和一列 0，这样我们就可以省去非常多的边界条件的处理，处理后的矩阵就像这样：

这样，我们填写前缀和矩阵数组的时候，下标直接从 1 开始，能大胆使用 i-1, j-1 位置的值。 注意 dp 表与原数组 matrix 内的元素的映射关系：

1. 从 dp 表到 matrix 矩阵，横纵坐标减一；
2. 从 matrix 矩阵到 dp 表，横纵坐标加一。

前缀和矩阵中 sum[i][j] 的含义，以及如何递推二维前缀和方程：

• sum[i][j] 的含义： sum[i][j] 表示，从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域内，所有元素的累加和。对应下图的红色区域：

• 递推方程： 其实这个递推方程非常像我们小学做过求图形面积的题，我们可以将 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域分解成下面的部分：

sum[i][j] = 红 + 蓝 + 绿 + 黄，分析一下这四块区域：

1. 黄色部分最简单，它就是数组中的 matrix[i-1][j-1] (注意坐标的映射关系)。
2. 单独的蓝不好求，因为它不是我们定义的状态表示中的区域，同理，单独的绿也是；
3. 但是如果是 红 + 蓝，正好是我们 dp 数组中 sum[i-1][j] 的值，美滋滋；
4. 同理，如果是 红 + 绿，正好是我们 dp 数组中 sum[i][j-1] 的值；
5. 如果把上面求的三个值加起来，那就是 黄 + 红 + 蓝 + 红 + 绿，发现多算了一部分红的面积，因此再单独减去红的面积即可；
6. 红的面积正好也是符合 dp 数组的定义的，即 sum[i-1][j-1]。

综上所述，我们的递推方程就是： sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + matrix[i-1][j-1]

第二步：使用前缀和矩阵

题目的接口中提供的参数是原始矩阵的下标，为了避免下标映射错误，这里直接先把下标映射成 dp 表里面对应的下标：row1++, col1++, row2++, col2++。

接下来分析如何使用这个前缀和矩阵，如下图 (注意这里的 row 和 col 都处理过了，对应的正是 sum 矩阵中的下标)：

对于左上角 (row1, col1)、右下角 (row2, col2) 围成的区域，好是红色的部分。因此我们要求的就是红色部分的面积，继续分析几个区域：

1. 黄色，能直接求出来，就是 sum[row1-1][col1-1] (为什么减一？因为要剔除掉 row 这一行和 col 这一列)。
2. 绿色，直接求不好求，但是和黄色拼起来，正好是 sum 表内 sum[row1-1][col2] 的数据；
3. 同理，蓝色不好求，但是 蓝 + 黄 = sum[row2][col1-1]；
4. 再看看整个面积，好求嘛？非常好求，正好是 sum[row2][col2]；
5. 那么，红色就 = 整个面积 - 黄 - 绿 - 蓝，但是绿蓝不好求，我们可以这样减：整个面积 - (绿 + 黄) - (蓝 + 黄)，这样相当于多减去了一个黄，再加上即可。

综上所述：红 = 整个面积 - (绿 + 黄) - (蓝 + 黄) + 黄，从而可得红色区域内的元素总和为： sum[row2][col2] - sum[row2][col1-1] - sum[row1-1][col2] + sum[row1-1][col1-1]

完整代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    // 1. 读入数据
    int n = 0, m = 0, q = 0; 
    cin >> n >> m >> q;
    vector<vector<int>> arr(n + 1, vector<int>(m + 1));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) cin >> arr[i][j];

    // 2. 预处理前缀和矩阵
    vector<vector<long long>> dp(n + 1, vector<long long>(m + 1)); // 防止溢出
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + arr[i][j] - dp[i - 1][j - 1];

    // 3. 使用前缀和矩阵
    int x1 = 0, y1 = 0, x2 = 0, y2 = 0;
    while (q--) {
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        cout << dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

4. 寻找数组的中心下标 (OJ 题)

算法思路

从中心下标的定义可知，除中心下标的元素外，该元素左边的前缀和等于该元素右边的后缀和。

• 因此，我们可以先预处理出来两个数组，一个表示前缀和，另一个表示后缀和。
• 然后，我们可以用一个 for 循环枚举可能的中心下标，判断每一个位置的前缀和以及后缀和，如果二者相等，就返回当前下标。

核心代码

class Solution {
public:
    int pivotIndex(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> f(n), g(n);
        // 1. 预处理前缀和数组以及后缀和数组
        for (int i = 1; i < n; i++) f[i] = f[i - 1] + nums[i - 1];
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) g[i] = g[i + 1] + nums[i + 1];
        // 2. 使用
        for (int i = 0; i < n; i++)
            if (f[i] == g[i]) return i;
        return -1;
    }
};

完整测试代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int pivotIndex(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> f(n), g(n);
        for (int i = 1; i < n; i++) f[i] = f[i - 1] + nums[i - 1];
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) g[i] = g[i + 1] + nums[i + 1];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            if (f[i] == g[i]) return i;
        return -1;
    }
};

int main() {
    Solution sol;
    vector<int> nums1 = {1, 7, 3, 6, 5, 6};
    cout << "测试用例 1 [1,7,3,6,5,6] 的中心下标：" << sol.pivotIndex(nums1) << endl;
    vector<int> nums2 = {1, 2, 3};
    cout << "测试用例 2 [1,2,3] 的中心下标：" << sol.pivotIndex(nums2) << endl;
    vector<int> nums3 = {2, 1, -1};
    cout << "测试用例 3 [2,1,-1] 的中心下标：" << sol.pivotIndex(nums3) << endl;
    vector<int> nums4 = {1};
    cout << "测试用例 4 [1] 的中心下标：" << sol.pivotIndex(nums4) << endl;
    return 0;
}

5. 除了自身以外数组的乘积 (OJ 题)

算法思路

解法 (前缀和数组)：注意题目的要求，不能使用除法，并且要在 O(N) 的时间复杂度内完成该题。那么我们就不能使用暴力的解法，以及求出整个数组的乘积，然后除以单个元素的方法。 继续分析，根据题意，对于每一个位置的最终结果 ret[i]，它是由两部分组成的：

1. nums[0] * nums[1] * ... * nums[i-1]
2. nums[i+1] * nums[i+2] * ... * nums[n-1] 于是，我们可以利用前缀和的思想，使用两个数组 f 和 g，分别处理出来两个信息：
3. f 表示 "i 位置之前的所有元素，即 [0, i-1] 区间内所有元素的前缀乘积"。
4. g 表示：i 位置之后的所有元素，即 [i+1, n-1] 区间内所有元素的后缀乘积。然后再处理最终结果。

核心代码

class Solution {
public:
    vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> f(n), g(n);
        // 1. 预处理一下前缀积数组以及后缀积数组
        f[0] = g[n - 1] = 1; // 细节问题
        for (int i = 1; i < n; i++) f[i] = f[i - 1] * nums[i - 1];
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) g[i] = g[i + 1] * nums[i + 1];
        // 2. 使用
        vector<int> ret(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) ret[i] = f[i] * g[i];
        return ret;
    }
};

完整测试代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

class Solution {
public:
    vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> f(n), g(n);
        f[0] = g[n - 1] = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) f[i] = f[i - 1] * nums[i - 1];
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) g[i] = g[i + 1] * nums[i + 1];
        vector<int> ret(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) ret[i] = f[i] * g[i];
        return ret;
    }
};

void printVector(const vector<int>& vec) {
    for (int num : vec) cout << num << " ";
    cout << endl;
}

int main() {
    Solution sol;
    vector<int> nums1 = {1, 2, 3, 4};
    cout << "测试用例 1 输入：";
    printVector(nums1);
    vector<int> res1 = sol.productExceptSelf(nums1);
    cout << "测试用例 1 输出：";
    printVector(res1); // 预期：24 12 8 6
    cout << "-------------------------" << endl;
    vector<int> nums2 = {-1, 1, 0, -3, 3};
    cout << "测试用例 2 输入：";
    printVector(nums2);
    vector<int> res2 = sol.productExceptSelf(nums2);
    cout << "测试用例 2 输出：";
    printVector(res2); // 预期：0 0 9 0 0
    cout << "-------------------------" << endl;
    vector<int> nums3 = {2, 3};
    cout << "测试用例 3 输入：";
    printVector(nums3);
    vector<int> res3 = sol.productExceptSelf(nums3);
    cout << "测试用例 3 输出：";
    printVector(res3); // 预期：3 2
    return 0;
}

6. 和为 k 的子数组 (OJ 题)

算法思路

解法 (将前缀和存在哈希表中)： 设 i 为数组中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。 想知道有多少个以 i 为结尾的和为 k 的子数组，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3... 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和为 k。那么 [0, x] 区间内的和是不是就是 sum[i] - k 了。于是问题就变成：

• 找到在 [0, i-1] 区间内，有多少前缀和等于 sum[i] - k 的即可。

我们不用真的初始化一个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，有多少个前缀和等于 sum[i] - k。因此，我们仅需用一个哈希表，一边求当前位置的前缀和，一边存下之前每一种前缀和出现的次数。

核心代码

class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        unordered_map<int, int> hash; // 统计前缀和出现的次数
        hash[0] = 1;
        int sum = 0, ret = 0;
        for (auto x : nums) {
            sum += x; // 计算当前位置的前缀和
            if (hash.count(sum - k)) ret += hash[sum - k]; // 统计个数
            hash[sum]++;
        }
        return ret;
    }
};

完整测试代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        unordered_map<int, int> hash;
        hash[0] = 1; // 初始化：前缀和为 0 的情况出现 1 次（关键边界）
        int sum = 0, ret = 0;
        for (auto x : nums) {
            sum += x; // 计算当前位置的前缀和
            if (hash.count(sum - k)) ret += hash[sum - k]; // 统计符合条件的子数组个数
            hash[sum]++; // 更新哈希表
        }
        return ret;
    }
};

void printVector(const vector<int>& vec) {
    cout << "[";
    for (int i = 0; i < vec.size(); ++i) {
        cout << vec[i];
        if (i != vec.size() - 1) cout << ", ";
    }
    cout << "]";
}

int main() {
    Solution sol;
    vector<int> nums1 = {1, 1, 1}; int k1 = 2;
    cout << "测试用例 1：数组 = "; printVector(nums1);
    cout << "，k = " << k1 << endl;
    cout << "结果：" << sol.subarraySum(nums1, k1) << " （预期：2）" << endl;
    cout << "-------------------------" << endl;
    vector<int> nums2 = {1, 2, 3}; int k2 = 3;
    cout << "测试用例 2：数组 = "; printVector(nums2);
    cout << "，k = " << k2 << endl;
    cout << "结果：" << sol.subarraySum(nums2, k2) << " （预期：2）" << endl;
    cout << "-------------------------" << endl;
    vector<int> nums3 = {1}; int k3 = 1;
    cout << "测试用例 3：数组 = "; printVector(nums3);
    cout << "，k = " << k3 << endl;
    cout << "结果：" << sol.subarraySum(nums3, k3) << " （预期：1）" << endl;
    cout << "-------------------------" << endl;
    vector<int> nums4 = {1}; int k4 = 0;
    cout << "测试用例 4：数组 = "; printVector(nums4);
    cout << "，k = " << k4 << endl;
    cout << "结果：" << sol.subarraySum(nums4, k4) << " （预期：0）" << endl;
    return 0;
}

7. 和可被 k 整除的子数组 (OJ 题)

前置知识

• 同余定理：如果 (a - b) % n == 0，那么 a % n == b % n。用文字叙述就是，如果两个数相减的差能被 n 整除，那么这两个数对 n 取模的结果相同。 例如：(26 - 2) % 12 == 0，那么 26 % 12 == 2 % 12 == 2。
• C++ 中负数取模的结果，以及如何修正负数取模的结果：
  • C++ 中关于负数的取模运算，结果是把负数当成正数，取模之后的结果加上一个负号。例如：-1 % 3 = -(1 % 3) = -1。
  • 因为有负数，为了防止发生出现负数的结果，以 (a % n + n) % n 的形式输出保证为正。例如：-1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2。

算法思路

思路与和为 K 的子数组这道题的思路相似。 设 i 为数组中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。

• 想知道有多少个以 i 为结尾的可被 k 整除的子数组，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3... 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和可被 k 整除。
• 设 [0, x-1] 区间内所有元素之和等于 a，[0, i] 区间内所有元素的和等于 b，可得 (b - a) % k == 0。
• 由同余定理可得，[0, x-1] 区间与 [0, i] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成： 找到在 [0, i-1] 区间内，有多少个前缀和的余数等于 sum[i] % k 的即可。

我们不用真的初始化一个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，有多少个前缀和等于 sum[i] - k。因此，我们仅需用一个哈希表，一边求当前位置的前缀和，一边存下之前每一种前缀和出现的次数。

核心代码

class Solution {
public:
    int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
        unordered_map<int, int> hash;
        hash[0 % k] = 1; // 0 这个数的余数
        int sum = 0, ret = 0;
        for (auto x : nums) {
            sum += x; // 算出当前位置的前缀和
            int r = (sum % k + k) % k; // 修正后的余数
            if (hash.count(r)) ret += hash[r]; // 统计结果
            hash[r]++;
        }
        return ret;
    }
};

完整测试代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
        unordered_map<int, int> hash;
        hash[0 % k] = 1; // 初始化：前缀和为 0 的余数情况出现 1 次
        int sum = 0, ret = 0;
        for (auto x : nums) {
            sum += x; // 计算当前前缀和
            int r = (sum % k + k) % k; // 修正负数取模，保证余数为正
            if (hash.count(r)) ret += hash[r]; // 统计符合条件的子数组数量
            hash[r]++; // 更新哈希表
        }
        return ret;
    }
};

void printVector(const vector<int>& vec) {
    cout << "[";
    for (int i = 0; i < vec.size(); ++i) {
        cout << vec[i];
        if (i != vec.size() - 1) cout << ", ";
    }
    cout << "]";
}

int main() {
    Solution sol;
    vector<int> nums1 = {4, 5, 0, -2, -3, 1}; int k1 = 5;
    cout << "测试用例 1：数组 = "; printVector(nums1);
    cout << "，k = " << k1 << endl;
    cout << "结果：" << sol.subarraysDivByK(nums1, k1) << " （预期：7）" << endl;
    cout << "-------------------------" << endl;
    vector<int> nums2 = {5}; int k2 = 9;
    cout << "测试用例 2：数组 = "; printVector(nums2);
    cout << "，k = " << k2 << endl;
    cout << "结果：" << sol.subarraysDivByK(nums2, k2) << " （预期：0）" << endl;
    cout << "-------------------------" << endl;
    vector<int> nums3 = {7, 4, -10}; int k3 = 5;
    cout << "测试用例 3：数组 = "; printVector(nums3);
    cout << "，k = " << k3 << endl;
    cout << "结果：" << sol.subarraysDivByK(nums3, k3) << " （预期：1）" << endl;
    cout << "-------------------------" << endl;
    vector<int> nums4 = {-5}; int k4 = 5;
    cout << "测试用例 4：数组 = "; printVector(nums4);
    cout << "，k = " << k4 << endl;
    cout << "结果：" << sol.subarraysDivByK(nums4, k4) << " （预期：1）" << endl;
    return 0;
}

8. 连续数组 (OJ 题)

算法思路

稍微转化一下题目，就会变成我们熟悉的题：

• 本题让我们找出一段连续的区间，0 和 1 出现的次数相同。
• 如果将 0 记为 -1，1 记为 1，问题就变成了找出一段区间，这段区间的和等于 0。
• 于是，就和和为 K 的子数组这道题的思路一样。

设 i 为数组中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。 想知道最大的以 i 为结尾的和为 0 的子数组，就要找到从左往右第一个 x1 使得 [x1, i] 区间内的所有元素的和为 0。那么 [0, x1-1] 区间内的和是不是就是 sum[i] 了。于是问题就变成：

• 找到在 [0, i-1] 区间内，第一次出现 sum[i] 的位置即可。

我们不用真的初始化一个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，第一个前缀和等于 sum[i] 的位置。因此，我们仅需用一个哈希表，一边求当前位置的前缀和，一边记录第一次出现该前缀和的位置。

前缀和原理：如果两个下标 i 和 j 的前缀和相等，那么 i+1 ~ j 区间的子数组和为 0。 哈希表作用：存储 前缀和第一次出现的下标 (只存第一次，才能保证子数组最长)。

为什么 hash[0] = -1？ 这是最容易困惑的点：

• 假设数组 [0,1]，前缀和依次为：-1 → 0
• 当前缀和为 0 时，下标是 1
• 长度 = 1 - (-1) = 2，刚好是正确结果。
• 如果不初始化，会丢失从数组开头就满足条件的子数组。

为什么只存前缀和第一次出现的下标？ 因为我们要最长长度，第一次出现的下标最小，差值最大。如果后续重复出现相同前缀和，直接跳过，不更新哈希表。

举例演示 输入数组：nums = [0, 1, 0, 1] 转化后：[-1, 1, -1, 1]

最终返回 4，即最长子数组长度为 4 ✅

核心代码

class Solution {
public:
    // 函数功能：寻找 0 和 1 数量相等的最长子数组长度
    int findMaxLength(vector<int>& nums) {
        // 哈希表：key = 前缀和，value = 该前缀和第一次出现的下标
        unordered_map<int, int> hash;
        // 关键初始化：前缀和为 0 时，默认下标是 -1
        // 作用：处理从数组开头到当前位置，和为 0 的情况
        hash[0] = -1;
        int sum = 0; // 记录遍历过程中的前缀和
        int ret = 0; // 记录最终结果：最长子数组长度
        // 遍历数组，i 是当前下标
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            // 计算前缀和：0 → -1，1 → 1
            sum += nums[i] == 0 ? -1 : 1;
            // 如果哈希表中已经存在当前前缀和
            if (hash.count(sum)) {
                // 计算子数组长度：当前下标 - 前缀和第一次出现的下标
                // 并更新最大值
                ret = max(ret, i - hash[sum]);
            } else {
                // 如果哈希表中不存在当前前缀和
                // 只存储第一次出现的下标（保证长度最长）
                hash[sum] = i;
            }
        }
        return ret; // 返回最长长度
    }
};

完整测试代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
#include <algorithm>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int findMaxLength(vector<int>& nums) {
        unordered_map<int, int> hash;
        hash[0] = -1; // 默认有一个前缀和为 0 的情况
        int sum = 0, ret = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i] == 0 ? -1 : 1; // 计算当前位置的前缀和
            if (hash.count(sum)) ret = max(ret, i - hash[sum]);
            else hash[sum] = i;
        }
        return ret;
    }
};

void printVector(const vector<int>& vec) {
    cout << "[";
    for (int i = 0; i < vec.size(); ++i) {
        cout << vec[i];
        if (i != vec.size() - 1) cout << ", ";
    }
    cout << "]";
}

int main() {
    Solution sol;
    vector<int> nums1 = {0, 1};
    cout << "测试用例 1：数组 = "; printVector(nums1);
    cout << "\n最长子数组长度：" << sol.findMaxLength(nums1) << " （预期：2）" << endl;
    cout << "-------------------------" << endl;
    vector<int> nums2 = {0, 1, 0};
    cout << "测试用例 2：数组 = "; printVector(nums2);
    cout << "\n最长子数组长度：" << sol.findMaxLength(nums2) << " （预期：2）" << endl;
    cout << "-------------------------" << endl;
    vector<int> nums3 = {0, 1, 0, 1};
    cout << "测试用例 3：数组 = "; printVector(nums3);
    cout << "\n最长子数组长度：" << sol.findMaxLength(nums3) << " （预期：4）" << endl;
    cout << "-------------------------" << endl;
    vector<int> nums4 = {0, 0, 0, 1, 1, 1, 0};
    cout << "测试用例 4：数组 = "; printVector(nums4);
    cout << "\n最长子数组长度：" << sol.findMaxLength(nums4) << " （预期：6）" << endl;
    cout << "-------------------------" << endl;
    vector<int> nums5 = {0};
    cout << "测试用例 5：数组 = "; printVector(nums5);
    cout << "\n最长子数组长度：" << sol.findMaxLength(nums5) << " （预期：0）" << endl;
    return 0;
}

9. 矩阵区域和 (OJ 题)

算法思路

二维前缀和的简单应用题，关键就是我们在填写结果矩阵的时候，要找到原矩阵对应区域的左上角以及右下角的坐标 (推荐大家画图)。

• 左上角坐标：x1 = i - k, y1 = j - k，但是由于会超过矩阵的范围，因此需要对 0 取一个 max。因此修正后的坐标为：x1 = max(0, i - k), y1 = max(0, j - k)；
• 右下角坐标：x2 = i + k, y2 = j + k，但是由于会超过矩阵的范围，因此需要对 m - 1，以及 n - 1 取一个 min。因此修正后的坐标为：x2 = min(m - 1, i + k), y2 = min(n - 1, j + k)。

核心代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) {
        // 1. 获取矩阵的 行数 m、列数 n
        int m = mat.size(), n = mat[0].size();
        // 2. 创建 (m+1) 行*(n+1) 列 的二维前缀和数组 dp
        // 前缀和数组统一从 下标 1 开始，避免处理 0 下标复杂的边界问题
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        // 3. 预处理：构建二维前缀和矩阵
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                // 二维前缀和核心公式
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] // 上方前缀和
                         + dp[i][j - 1] // 左方前缀和
                         - dp[i - 1][j - 1] // 减去重复计算的左上角区域
                         + mat[i - 1][j - 1]; // 加上当前原矩阵的元素
        // 4. 创建结果矩阵，大小和原矩阵一致 m*n
        vector<vector<int>> ret(m, vector<int>(n));
        // 5. 遍历原矩阵每一个位置 (i,j)，计算对应区域和
        for (int i = 0; i < m; i++)
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                // 计算正方形区域的 左上角坐标 (x1,y1)、右下角坐标 (x2,y2)
                // max(0, i-k)：防止向上越界，最小只能到第 0 行
                // +1：把原矩阵的 0-based 下标 转为 前缀和矩阵的 1-based 下标
                int x1 = max(0, i - k) + 1;
                int y1 = max(0, j - k) + 1;
                // min(m-1, i+k)：防止向下越界，最大只能到最后一行
                // +1：转为 1-based 下标
                int x2 = min(m - 1, i + k) + 1;
                int y2 = min(n - 1, j + k) + 1;
                // 二维前缀和 计算子矩阵和的核心公式
                ret[i][j] = dp[x2][y2] // 右下角总和
                          - dp[x1 - 1][y2] // 减去上方区域
                          - dp[x2][y1 - 1] // 减去左方区域
                          + dp[x1 - 1][y1 - 1]; // 加回重复减去的左上角区域
            }
        // 返回最终结果矩阵
        return ret;
    }
};

完整测试代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) {
        int m = mat.size(), n = mat[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1];
        vector<vector<int>> ret(m, vector<int>(n));
        for (int i = 0; i < m; i++)
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                int x1 = max(0, i - k) + 1;
                int y1 = max(0, j - k) + 1;
                int x2 = min(m - 1, i + k) + 1;
                int y2 = min(n - 1, j + k) + 1;
                ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
            }
        return ret;
    }
};

void printMatrix(const vector<vector<int>>& mat) {
    for (const auto& row : mat) {
        for (int num : row) cout << num << "\t";
        cout << endl;
    }
}

int main() {
    Solution sol;
    vector<vector<int>> mat1 = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};
    int k1 = 1;
    cout << "测试用例 1：原矩阵 (k=1)" << endl;
    printMatrix(mat1);
    cout << "结果矩阵：" << endl;
    vector<vector<int>> res1 = sol.matrixBlockSum(mat1, k1);
    printMatrix(res1);
    cout << "-------------------------" << endl;
    vector<vector<int>> mat2 = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};
    int k2 = 2;
    cout << "测试用例 2：原矩阵 (k=2)" << endl;
    printMatrix(mat2);
    cout << "结果矩阵：" << endl;
    vector<vector<int>> res2 = sol.matrixBlockSum(mat2, k2);
    printMatrix(res2);
    cout << "-------------------------" << endl;
    vector<vector<int>> mat3 = {{5}};
    int k3 = 10;
    cout << "测试用例 3：原矩阵 (k=10)" << endl;
    printMatrix(mat3);
    cout << "结果矩阵：" << endl;
    vector<vector<int>> res3 = sol.matrixBlockSum(mat3, k3);
    printMatrix(res3);
    return 0;
}